Номер 2.103, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.103. Четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ – проекция трапеции $ABCD$.
Постройте проекцию средней линии трапеции.

Обоснование:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ (то есть $AD \parallel BC$) и ее параллельная проекция — четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$.

Параллельное проецирование обладает ключевыми свойствами, которые мы используем для решения задачи:
1. Параллельные прямые проецируются в параллельные прямые.
2. Середина отрезка проецируется в середину проекции этого отрезка.

Из первого свойства следует, что раз основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, то их проекции $A_1D_1$ и $B_1C_1$ также будут параллельны. Это означает, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — это тоже трапеция, основаниями которой являются стороны $A_1D_1$ и $B_1C_1$, а боковыми сторонами — $A_1B_1$ и $C_1D_1$.

Средняя линия исходной трапеции $ABCD$ — это отрезок $MN$, который соединяет середины ее боковых сторон $AB$ и $CD$. Точка $M$ является серединой $AB$, а точка $N$ — серединой $CD$.

Согласно второму свойству, проекция $M_1$ точки $M$ будет являться серединой проекции отрезка $AB$, то есть отрезка $A_1B_1$. Аналогично, проекция $N_1$ точки $N$ будет являться серединой проекции отрезка $CD$, то есть отрезка $C_1D_1$.

Таким образом, проекция средней линии трапеции является отрезком, соединяющим середины боковых сторон проекции трапеции. Другими словами, искомый отрезок — это средняя линия трапеции $A_1B_1C_1D_1$.

Построение:

Исходя из вышесказанного, для построения проекции средней линии трапеции необходимо выполнить следующие шаги:
1. В заданном четырехугольнике $A_1B_1C_1D_1$ определить пару параллельных сторон (оснований). Пусть это будут стороны $A_1D_1$ и $B_1C_1$. Соответственно, стороны $A_1B_1$ и $C_1D_1$ являются боковыми.
2. Найти и отметить точку $M_1$ — середину боковой стороны $A_1B_1$.
3. Найти и отметить точку $N_1$ — середину боковой стороны $C_1D_1$.
4. Соединить точки $M_1$ и $N_1$ отрезком.

На рисунке ниже показан пример такого построения.

На рисунке показана проекция трапеции $A_1B_1C_1D_1$ с основаниями $A_1D_1$ и $B_1C_1$. Точка $M_1$ — середина боковой стороны $A_1B_1$, а точка $N_1$ — середина боковой стороны $C_1D_1$. Отрезок $M_1N_1$, показанный красной пунктирной линией, является искомой проекцией средней линии.

Ответ: Проекцией средней линии трапеции является средняя линия ее проекции. Для построения необходимо найти середины боковых (непараллельных) сторон проекции трапеции и соединить их отрезком.