Номер 2.98, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.98. С помощью теоремы Пифагора покажите, что диагональ $d$ прямого параллелепипеда с измерениями $a$, $b$ и $c$ (длина, ширина и высота) определяется по формуле $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Рассмотрим прямой параллелепипед с измерениями (длиной, шириной и высотой) $a$, $b$ и $c$. Диагональ такого параллелепипеда, обозначенная как $d$, соединяет две противоположные вершины, не лежащие в одной грани. Доказательство требуемой формулы основано на двукратном применении теоремы Пифагора. Для наглядности представим параллелепипед и его диагонали на рисунке.

Сначала рассмотрим основание параллелепипеда. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Проведем в нем диагональ, обозначим ее длину как $d_b$. Эта диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Катетами такого треугольника являются стороны основания $a$ и $b$, а гипотенузой — диагональ основания $d_b$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому:
$d_b^2 = a^2 + b^2$

Далее рассмотрим треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $d$, диагональю основания $d_b$ и боковым ребром (высотой) $c$. Поскольку параллелепипед является прямым, его боковое ребро $c$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и диагонали $d_b$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, этот треугольник также является прямоугольным. В нем катетами служат $d_b$ и $c$, а гипотенузой — искомая диагональ $d$.
Применив теорему Пифагора еще раз, получаем:
$d^2 = d_b^2 + c^2$

Теперь подставим найденное ранее выражение для $d_b^2$ в это равенство:
$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2$
Что приводит к итоговой формуле:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Таким образом, мы показали, что квадрат диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, что и требовалось доказать.

Ответ: С помощью двукратного применения теоремы Пифагора — сначала для нахождения диагонали основания ($d_b^2 = a^2 + b^2$), а затем для нахождения диагонали самого параллелепипеда ($d^2 = d_b^2 + c^2$) — мы показали, что квадрат диагонали прямого параллелепипеда определяется формулой $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.