Номер 2.100, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.100. В тетраэдре (все ребра равны между собой) ребро равно 8 см. Найдите площадь ортогональной проекции боковой грани на плоскость основания.

По условию задачи дан правильный тетраэдр, так как все его ребра равны. Пусть длина ребра тетраэдра $a = 8$ см. Требуется найти площадь ортогональной проекции боковой грани на плоскость основания.

Площадь ортогональной проекции $S_{пр}$ многоугольника на плоскость вычисляется по формуле:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$,где $S$ — площадь многоугольника, а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

В нашем случае $S$ — это площадь боковой грани тетраэдра, а $\alpha$ — это двугранный угол между боковой гранью и основанием.

1. Найдем площадь боковой грани.Боковая грань правильного тетраэдра представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a = 8$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$Подставим значение $a = 8$ см:$S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем косинус угла между боковой гранью и основанием.Пусть SABC — наш тетраэдр, где ABC — основание. Угол $\alpha$ между плоскостью боковой грани (например, SAB) и плоскостью основания (ABC) — это линейный угол двугранного угла при ребре AB.Чтобы построить этот угол, проведем апофему боковой грани SM (высоту треугольника SAB) и апофему основания CM (высоту треугольника ABC). M — середина ребра AB. Угол между этими апофемами $\angle SMC$ и будет искомым углом $\alpha$.

Рассмотрим треугольник SMC. Вершина S проецируется в центр основания O, который является точкой пересечения медиан (и высот, и биссектрис) треугольника ABC. Таким образом, SO — высота тетраэдра. Треугольник SOM является прямоугольным ($\angle SOM = 90^\circ$).

Длина апофемы SM (высоты равностороннего треугольника SAB) равна:$SM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Точка O делит медиану CM в отношении 2:1, считая от вершины C. Следовательно, $OM = \frac{1}{3}CM$.Длина медианы CM (которая также является высотой в равностороннем треугольнике ABC) равна:$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.Тогда:$OM = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника SOM найдем косинус угла $\alpha = \angle SMO$:$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} = \frac{4\sqrt{3}/3}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

3. Вычислим площадь проекции.Подставим найденные значения площади грани S и косинуса угла $\alpha$ в формулу для площади проекции:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha) = 16\sqrt{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.