Страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.93. Может ли проекция отрезка быть больше проектируемого отрезка? Обоснуйте ответ на рисунке.

Да, проекция отрезка может быть больше самого отрезка. Это возможно в случае, если проецирование не является ортогональным (прямоугольным), а косоугольным (параллельным).

При ортогональном проецировании отрезка на прямую, его проекция всегда меньше или равна по длине самому отрезку. Длина проекции $L_{пр}$ связана с длиной отрезка $L$ и углом $\alpha$ между отрезком и прямой формулой $L_{пр} = L \cdot |\cos\alpha|$. Так как $|\cos\alpha| \le 1$, то $L_{пр} \le L$.

Однако при косоугольном проецировании, когда лучи проекции падают на прямую под углом, отличным от $90^\circ$, длина проекции может превышать длину исходного отрезка. Это происходит, когда угол между направлением проецирования и прямой, на которую проецируют, достаточно мал.

На приведенном ниже рисунке отрезок $AB$ (синий) проецируется на прямую $l$. Проецирование происходит вдоль параллельных пунктирных линий. В результате получается проекция — отрезок $A'B'$ (красный), длина которого очевидно больше длины исходного отрезка $AB$.

Ответ: Да, может, в случае косоугольного проецирования.

2.94. Могут ли непараллельные прямые проектироваться на плоскости в виде параллельных прямых? Приведите пример.

Могут ли непараллельные прямые проектироваться на плоскости в виде параллельных прямых?

Да, непараллельные прямые в пространстве могут проектироваться на плоскость в виде параллельных прямых. Это возможно при использовании центральной проекции (также известной как перспективная проекция), но, как правило, невозможно при параллельной проекции.

Центральная проекция определяется центром проекции $O$ (точкой, из которой ведется наблюдение) и плоскостью проекции $\pi$ (на которую проецируется изображение). Проекцией точки $A$ является точка $A'$, в которой прямая $OA$ пересекает плоскость $\pi$. Проекцией прямой $l$ является прямая $l'$, которая представляет собой пересечение плоскости, проходящей через центр проекции $O$ и прямую $l$, с плоскостью проекции $\pi$.

Пусть в пространстве даны две непараллельные прямые, $a$ и $b$. Рассмотрим два возможных случая их взаимного расположения:

1. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Пусть они пересекаются в точке $P$. Для того чтобы их проекции $a'$ и $b'$ на плоскость $\pi$ были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы прямая $OP$, соединяющая центр проекции $O$ с точкой пересечения прямых $P$, была параллельна плоскости проекции $\pi$.
Обоснование: Проекция прямой $a$ есть линия пересечения плоскости $(O, a)$ с плоскостью $\pi$, обозначим ее $a'$. Аналогично, проекция прямой $b$ есть $b' = (O, b) \cap \pi$. Обе проекции $a'$ и $b'$ лежат в одной плоскости $\pi$. Они будут параллельны, если не пересекаются. Точка пересечения проекций, если она существует, должна лежать на линии пересечения плоскостей $(O, a)$ и $(O, b)$. Эти две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через их общие точки — $O$ и $P$. То есть, они пересекаются по прямой $OP$. Таким образом, точка пересечения $a'$ и $b'$ должна лежать на прямой $OP$ и одновременно в плоскости $\pi$. Если прямая $OP$ параллельна плоскости $\pi$, то у них нет общих точек. Следовательно, проекции $a'$ и $b'$ не пересекаются, а значит, они параллельны.

2. Прямые $a$ и $b$ скрещиваются. В этом случае через центр проекции $O$ и каждую из прямых $a$ и $b$ проходят плоскости $\alpha = (O, a)$ и $\beta = (O, b)$. Эти плоскости пересекаются по некоторой прямой $c$, проходящей через точку $O$. Проекции $a'$ и $b'$ будут параллельны, если прямая $c$ параллельна плоскости проекции $\pi$.

Таким образом, в обоих случаях существует геометрическая конфигурация, при которой проекции непараллельных прямых становятся параллельными.

Ответ: Да, могут, при центральной проекции.

Приведите пример.

Рассмотрим наглядный пример. Представьте себе двускатную крышу дома. Линии ската крыши, сходящиеся к коньку (обозначены как $a$ и $b$ на рисунке), являются пересекающимися в точке $P$ прямыми.

Наблюдатель (центр проекции $O$) смотрит на объект. Плоскость проекции $\pi$ (например, экран фотоаппарата) расположена между наблюдателем и объектом. Если наблюдатель находится на такой высоте, что его глаз $O$ и точка пересечения прямых $P$ находятся на одной линии, параллельной плоскости проекции $\pi$, то проекции пересекающихся линий $a$ и $b$ на плоскости $\pi$ будут двумя параллельными прямыми $a'$ и $b'$. В данном примере на рисунке они изображены как параллельные вертикальные линии.

Математический пример:

Рассмотрим трехмерную систему координат. Пусть центр проекции находится в начале координат: $O = (0, 0, 0)$. Пусть плоскость проекции $\pi$ задана уравнением $x = 2$. Возьмем две прямые, пересекающиеся в точке $P=(0, 3, 0)$. Заметим, что вектор $\vec{OP}=(0, 3, 0)$ параллелен плоскости $x=2$, так как его скалярное произведение с нормальным вектором плоскости $\vec{n}=(1, 0, 0)$ равно нулю. Пусть первая прямая $a$ проходит через точки $P(0, 3, 0)$ и $Q(2, 4, 2)$. Ее параметрическое уравнение: $a(t) = (0, 3, 0) + t \cdot (2, 1, 2) = (2t, 3+t, 2t)$. Пусть вторая прямая $b$ проходит через точки $P(0, 3, 0)$ и $R(2, 5, -2)$. Ее параметрическое уравнение: $b(s) = (0, 3, 0) + s \cdot (2, 2, -2) = (2s, 3+2s, -2s)$.

Найдем их проекции на плоскость $\pi: x=2$. Проекция точки $(x_0, y_0, z_0)$ из центра $O$ на плоскость $x=2$ — это точка $(2, y_0 \cdot \frac{2}{x_0}, z_0 \cdot \frac{2}{x_0})$ для $x_0 \neq 0$.

Проекция прямой $a$: для точки $(2t, 3+t, 2t)$ ее проекция $a'$ имеет координаты $(2, (3+t) \cdot \frac{2}{2t}, 2t \cdot \frac{2}{2t}) = (2, \frac{3}{t}+1, 2)$. При изменении параметра $t \neq 0$, точка проекции описывает прямую, заданную уравнениями $x=2, z=2$. Это прямая, параллельная оси $OY$.

Проекция прямой $b$: для точки $(2s, 3+2s, -2s)$ ее проекция $b'$ имеет координаты $(2, (3+2s) \cdot \frac{2}{2s}, -2s \cdot \frac{2}{2s}) = (2, \frac{3}{s}+2, -2)$. При изменении параметра $s \neq 0$, точка проекции описывает прямую, заданную уравнениями $x=2, z=-2$. Это также прямая, параллельная оси $OY$.

Проекция $a'$ (линия $x=2, z=2$) и проекция $b'$ (линия $x=2, z=-2$) являются параллельными прямыми.

Ответ: Примером могут служить две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ в пространстве, которые проектируются из центра $O$ на плоскость $\pi$, если прямая, соединяющая центр $O$ с точкой пересечения прямых $a$ и $b$, параллельна плоскости $\pi$.

2.95. Плоскость многоугольника не параллельна направлению проектирования. В какую фигуру проектируется:

1) треугольник;

2) квадрат;

3) прямоугольник;

4) параллелограмм;

5) трапеция?

При параллельном проектировании плоскости многоугольника на другую плоскость, если направление проектирования не параллельно плоскости многоугольника, проекцией многоугольника будет многоугольник с тем же числом вершин. При этом сохраняются некоторые свойства исходной фигуры, а некоторые — нет.

Основные свойства параллельного проектирования:

• Проекцией прямой является прямая.
• Проекцией отрезка является отрезок.
• Параллельные прямые проектируются в параллельные прямые (или в одну прямую).
• Отношение длин параллельных отрезков или отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется.
• Длины отрезков и величины углов, как правило, не сохраняются.

1) треугольник;

Треугольник задается тремя вершинами, не лежащими на одной прямой. Так как плоскость треугольника не параллельна направлению проектирования, его вершины спроектируются в три точки, которые также не будут лежать на одной прямой. Отрезки, соединяющие вершины (стороны треугольника), спроектируются в отрезки, соединяющие проекции вершин. Таким образом, проекцией треугольника будет снова треугольник.
Ответ: треугольник.

2) квадрат;

Квадрат — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны. Свойство параллельности сторон сохраняется при параллельном проектировании. Следовательно, проекция квадрата будет иметь параллельные противолежащие стороны, то есть будет параллелограммом. Однако, прямые углы и равенство длин смежных сторон в общем случае не сохраняются. Поэтому проекцией квадрата будет произвольный параллелограмм.
Ответ: параллелограмм.

3) прямоугольник;

Прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами. Как и в случае с квадратом, свойство параллельности противолежащих сторон сохранится, поэтому проекцией будет параллелограмм. Прямые углы при проектировании, как правило, не сохраняются. Следовательно, проекцией прямоугольника в общем случае является параллелограмм.
Ответ: параллелограмм.

4) параллелограмм;

Определяющим свойством параллелограмма является попарная параллельность противолежащих сторон. Поскольку параллельное проектирование сохраняет параллельность прямых, проекция параллелограмма также будет фигурой с попарно параллельными противолежащими сторонами. Таким образом, проекцией параллелограмма является параллелограмм.
Ответ: параллелограмм.

5) трапеция;

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) — не параллельны. При параллельном проектировании параллельность оснований сохранится. Непараллельные боковые стороны спроектируются также в непараллельные отрезки (в общем случае). В результате получится четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет, что по определению является трапецией.
Ответ: трапеция.

2.96. Дан равносторонний треугольник со стороной 6 см. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $60^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции плоского многоугольника. Площадь проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула имеет вид: $S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$, где $S$ — площадь исходного многоугольника, $S_{пр}$ — площадь его проекции, а $\alpha$ — угол между плоскостями.

Сначала вычислим площадь $S$ равностороннего треугольника со стороной $a = 6$ см. Формула площади равностороннего треугольника:$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставив значение $a = 6$ см, получим:$S = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Теперь, зная площадь треугольника, можем найти площади его ортогональных проекций для каждого из заданных углов.

1) Угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции равен $30°$.$S_{пр} = S \cdot \cos(30°) = 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13,5$ см².
Ответ: $13,5$ см².

2) Угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции равен $45°$.$S_{пр} = S \cdot \cos(45°) = 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{6}}{2} = 4,5\sqrt{6}$ см².
Ответ: $4,5\sqrt{6}$ см².

3) Угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции равен $60°$.$S_{пр} = S \cdot \cos(60°) = 9\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} = 4,5\sqrt{3}$ см².
Ответ: $4,5\sqrt{3}$ см².

2.97. Ортогональная проекция равнобедренного треугольника есть равносторонний треугольник со стороной 6 см, одна сторона которого является основанием данного равнобедренного треугольника. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его плоскость образует с плоскостью проектирования угол, равный:

1) $30^\circ$

2) $45^\circ$

3) $60^\circ$ (рис. 2.59).

Рис. 2.59

Для решения задачи воспользуемся свойством ортогональной проекции: площадь проекции многоугольника равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Пусть $S$ — искомая площадь равнобедренного треугольника, $S_{пр}$ — площадь его ортогональной проекции, а $\phi$ — угол между их плоскостями. Тогда $S_{пр} = S \cdot \cos(\phi)$.

По условию, проекцией является равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см. Найдем его площадь $S_{пр}$ по формуле площади равностороннего треугольника:

$S_{пр} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Из формулы для площади проекции выразим искомую площадь $S$ равнобедренного треугольника:

$S = \frac{S_{пр}}{\cos(\phi)} = \frac{9\sqrt{3}}{\cos(\phi)}$

Теперь, используя эту формулу, найдем площадь для каждого из заданных углов $\phi$.

1) Если угол $\phi = 30°$, то $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 18$ см².

Ответ: 18 см².

2) Если угол $\phi = 45°$, то $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{6}}{2} = 9\sqrt{6}$ см².

Ответ: $9\sqrt{6}$ см².

3) Если угол $\phi = 60°$, то $\cos(60°) = \frac{1}{2}$.

$S = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot 2 = 18\sqrt{3}$ см².

Ответ: $18\sqrt{3}$ см².

Ниже приведена иллюстрация, поясняющая геометрическую ситуацию. Равнобедренный треугольник $ABC$ (синий) проецируется на плоскость, образуя равносторонний треугольник $DBC$ (серый). Основание $BC$ является общим для обоих треугольников и лежит на линии пересечения плоскостей. Вершина $A$ проецируется в точку $D$.

2.98. С помощью теоремы Пифагора покажите, что диагональ $d$ прямого параллелепипеда с измерениями $a$, $b$ и $c$ (длина, ширина и высота) определяется по формуле $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Рассмотрим прямой параллелепипед с измерениями (длиной, шириной и высотой) $a$, $b$ и $c$. Диагональ такого параллелепипеда, обозначенная как $d$, соединяет две противоположные вершины, не лежащие в одной грани. Доказательство требуемой формулы основано на двукратном применении теоремы Пифагора. Для наглядности представим параллелепипед и его диагонали на рисунке.

Сначала рассмотрим основание параллелепипеда. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Проведем в нем диагональ, обозначим ее длину как $d_b$. Эта диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Катетами такого треугольника являются стороны основания $a$ и $b$, а гипотенузой — диагональ основания $d_b$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому:
$d_b^2 = a^2 + b^2$

Далее рассмотрим треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $d$, диагональю основания $d_b$ и боковым ребром (высотой) $c$. Поскольку параллелепипед является прямым, его боковое ребро $c$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и диагонали $d_b$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, этот треугольник также является прямоугольным. В нем катетами служат $d_b$ и $c$, а гипотенузой — искомая диагональ $d$.
Применив теорему Пифагора еще раз, получаем:
$d^2 = d_b^2 + c^2$

Теперь подставим найденное ранее выражение для $d_b^2$ в это равенство:
$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2$
Что приводит к итоговой формуле:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Таким образом, мы показали, что квадрат диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, что и требовалось доказать.

Ответ: С помощью двукратного применения теоремы Пифагора — сначала для нахождения диагонали основания ($d_b^2 = a^2 + b^2$), а затем для нахождения диагонали самого параллелепипеда ($d^2 = d_b^2 + c^2$) — мы показали, что квадрат диагонали прямого параллелепипеда определяется формулой $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

2.99. Найдите длину диагонали прямого параллелепипеда, если:

1) $a=4$ м, $b=3$ м, $c=12$ м;

2) $a=1$ см, $b=1$ см, $c=\sqrt{2}$ см;

3) $a=9$ см, $b=8$ см, $c=5$ см;

4) $a=9$ дм, $b=7$ дм, $c=\sqrt{39}$ дм.

Для нахождения длины диагонали $d$ прямого (в данном контексте, прямоугольного) параллелепипеда используется формула, являющаяся следствием теоремы Пифагора в пространстве. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений (длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$):

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда, формула для длины диагонали:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Решим задачу для каждого из предложенных случаев.

1) Даны измерения: $a=4$ м, $b=3$ м, $c=12$ м.

Подставим значения в формулу и вычислим длину диагонали:

$d = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ м.

Ответ: 13 м.

2) Даны измерения: $a=1$ см, $b=1$ см, $c=\sqrt{2}$ см.

Подставим значения в формулу:

$d = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

3) Даны измерения: $a=9$ см, $b=8$ см, $c=5$ см.

Подставим значения в формулу:

$d = \sqrt{9^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 64 + 25} = \sqrt{145 + 25} = \sqrt{170}$ см.

Ответ: $\sqrt{170}$ см.

4) Даны измерения: $a=9$ дм, $b=7$ дм, $c=\sqrt{39}$ дм.

Подставим значения в формулу:

$d = \sqrt{9^2 + 7^2 + (\sqrt{39})^2} = \sqrt{81 + 49 + 39} = \sqrt{130 + 39} = \sqrt{169} = 13$ дм.

Ответ: 13 дм.

2.100. В тетраэдре (все ребра равны между собой) ребро равно 8 см. Найдите площадь ортогональной проекции боковой грани на плоскость основания.

По условию задачи дан правильный тетраэдр, так как все его ребра равны. Пусть длина ребра тетраэдра $a = 8$ см. Требуется найти площадь ортогональной проекции боковой грани на плоскость основания.

Площадь ортогональной проекции $S_{пр}$ многоугольника на плоскость вычисляется по формуле:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$,где $S$ — площадь многоугольника, а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

В нашем случае $S$ — это площадь боковой грани тетраэдра, а $\alpha$ — это двугранный угол между боковой гранью и основанием.

1. Найдем площадь боковой грани.Боковая грань правильного тетраэдра представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a = 8$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$Подставим значение $a = 8$ см:$S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем косинус угла между боковой гранью и основанием.Пусть SABC — наш тетраэдр, где ABC — основание. Угол $\alpha$ между плоскостью боковой грани (например, SAB) и плоскостью основания (ABC) — это линейный угол двугранного угла при ребре AB.Чтобы построить этот угол, проведем апофему боковой грани SM (высоту треугольника SAB) и апофему основания CM (высоту треугольника ABC). M — середина ребра AB. Угол между этими апофемами $\angle SMC$ и будет искомым углом $\alpha$.

Рассмотрим треугольник SMC. Вершина S проецируется в центр основания O, который является точкой пересечения медиан (и высот, и биссектрис) треугольника ABC. Таким образом, SO — высота тетраэдра. Треугольник SOM является прямоугольным ($\angle SOM = 90^\circ$).

Длина апофемы SM (высоты равностороннего треугольника SAB) равна:$SM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Точка O делит медиану CM в отношении 2:1, считая от вершины C. Следовательно, $OM = \frac{1}{3}CM$.Длина медианы CM (которая также является высотой в равностороннем треугольнике ABC) равна:$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.Тогда:$OM = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника SOM найдем косинус угла $\alpha = \angle SMO$:$\cos(\alpha) = \frac{OM}{SM} = \frac{4\sqrt{3}/3}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

3. Вычислим площадь проекции.Подставим найденные значения площади грани S и косинуса угла $\alpha$ в формулу для площади проекции:$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha) = 16\sqrt{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

2.101. Может ли проекция кривой линии быть прямой? Ответ поясните на чертеже.

Да, проекция кривой линии может быть прямой линией. Это происходит в том случае, если кривая линия является плоской (т.е. все ее точки лежат в одной плоскости) и при этом она находится в так называемой проецирующей плоскости — плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций, на которую проецируется линия.

На приведенном ниже комплексном чертеже (эпюре Монжа) показан пример такой ситуации.

На чертеже изображены две взаимно перпендикулярные плоскости проекций: $П_1$ — горизонтальная и $П_2$ — фронтальная. Кривая линия $a$, расположенная в пространстве, целиком лежит в плоскости $Σ$ (не показана), которая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций $П_1$. Такая плоскость $Σ$ называется горизонтально-проецирующей. Её фронтальная проекция, $a'' = A''B''$, является кривой, что показывает, что исходная линия $a$ действительно является кривой. Поскольку все точки кривой $a$ принадлежат плоскости $Σ$, перпендикулярной $П_1$, то их ортогональные проекции на $П_1$ ложатся на одну прямую — горизонтальный след плоскости $Σ$. В результате, горизонтальная проекция кривой, $a' = A'B'$, является отрезком прямой линии.

Ответ: да, может.

2.102. Может ли неравнобедренная трапеция быть проекцией равнобедренной трапеции? А наоборот?

Рассмотрим оба вопроса по отдельности, предполагая, что речь идет об ортогональном проецировании одной плоскости на другую.

Может ли неравнобедренная трапеция быть проекцией равнобедренной трапеции?

Да, может. Пусть в пространстве в плоскости $\Pi_1$ расположена равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и равными боковыми сторонами $AB=CD$. Произведем ортогональное проецирование этой трапеции на некоторую плоскость $\Pi_2$. Проекцией будет трапеция $A'B'C'D'$ с параллельными основаниями $A'D'$ и $B'C'$.

Длина проекции отрезка на плоскость вычисляется по формуле $L_{про} = L_{исх} \cdot \cos(\alpha)$, где $L_{исх}$ — исходная длина отрезка, а $\alpha$ — угол между отрезком и плоскостью проекции $\Pi_2$.

Таким образом, длины боковых сторон проекции будут равны:

$A'B' = AB \cdot \cos(\alpha_{AB})$

$C'D' = CD \cdot \cos(\alpha_{CD})$

где $\alpha_{AB}$ и $\alpha_{CD}$ — углы, которые образуют стороны $AB$ и $CD$ с плоскостью $\Pi_2$ соответственно.Поскольку исходная трапеция равнобедренная, $AB = CD$. Чтобы проекция $A'B'C'D'$ была неравнобедренной, необходимо, чтобы $A'B' \neq C'D'$. Это условие будет выполнено, если $\cos(\alpha_{AB}) \neq \cos(\alpha_{CD})$, то есть $\alpha_{AB} \neq \alpha_{CD}$.

Такую ситуацию легко смоделировать. Достаточно расположить плоскость $\Pi_1$ с трапецией так, чтобы ее боковые стороны $AB$ и $CD$ были наклонены под разными углами к плоскости проекции $\Pi_2$. Например, если повернуть трапецию в плоскости $\Pi_1$ так, чтобы одна из боковых сторон стала почти параллельна плоскости $\Pi_2$ (малый угол $\alpha$), а другая — нет. Тогда косинус этого угла будет близок к 1, и эта сторона спроецируется почти без искажения, в то время как другая сторона, имеющая больший угол наклона, спроецируется со значительным уменьшением длины.

Ответ: да, может.

А наоборот?

Да, это также возможно. Равнобедренная трапеция может быть проекцией неравнобедренной трапеции.Пусть в плоскости $\Pi_1$ находится неравнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем ее боковые стороны не равны, например, $AB > CD$. Мы хотим спроецировать ее на плоскость $\Pi_2$ так, чтобы получить равнобедренную трапецию $A'B'C'D'$, то есть чтобы выполнялось равенство $A'B' = C'D'$.

Используя ту же формулу для длин проекций, мы имеем:

$A'B' = AB \cdot \cos(\alpha_{AB})$

$C'D' = CD \cdot \cos(\alpha_{CD})$

Мы хотим добиться выполнения условия $A'B' = C'D'$, что эквивалентно:

$AB \cdot \cos(\alpha_{AB}) = CD \cdot \cos(\alpha_{CD})$

Поскольку по условию $AB > CD$, для выполнения этого равенства необходимо, чтобы $\cos(\alpha_{AB}) < \cos(\alpha_{CD})$. Так как косинус является убывающей функцией для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$, это означает, что угол наклона длинной стороны $AB$ к плоскости проекции должен быть больше угла наклона короткой стороны $CD$: $\alpha_{AB} > \alpha_{CD}$.

Это вполне достижимо. Нужно расположить исходную трапецию так, чтобы ее более длинная боковая сторона была наклонена к плоскости проекции под большим углом, чем короткая. За счет этого более сильного "укорачивания" при проецировании длина ее проекции может стать равной длине проекции более короткой стороны. Варьируя угол наклона плоскости $\Pi_1$ и ориентацию трапеции на ней, можно подобрать такие углы $\alpha_{AB}$ и $\alpha_{CD}$, чтобы равенство выполнилось.

Ответ: да, может.

2.103. Четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ – проекция трапеции $ABCD$.
Постройте проекцию средней линии трапеции.

Обоснование:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ (то есть $AD \parallel BC$) и ее параллельная проекция — четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$.

Параллельное проецирование обладает ключевыми свойствами, которые мы используем для решения задачи:
1. Параллельные прямые проецируются в параллельные прямые.
2. Середина отрезка проецируется в середину проекции этого отрезка.

Из первого свойства следует, что раз основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, то их проекции $A_1D_1$ и $B_1C_1$ также будут параллельны. Это означает, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — это тоже трапеция, основаниями которой являются стороны $A_1D_1$ и $B_1C_1$, а боковыми сторонами — $A_1B_1$ и $C_1D_1$.

Средняя линия исходной трапеции $ABCD$ — это отрезок $MN$, который соединяет середины ее боковых сторон $AB$ и $CD$. Точка $M$ является серединой $AB$, а точка $N$ — серединой $CD$.

Согласно второму свойству, проекция $M_1$ точки $M$ будет являться серединой проекции отрезка $AB$, то есть отрезка $A_1B_1$. Аналогично, проекция $N_1$ точки $N$ будет являться серединой проекции отрезка $CD$, то есть отрезка $C_1D_1$.

Таким образом, проекция средней линии трапеции является отрезком, соединяющим середины боковых сторон проекции трапеции. Другими словами, искомый отрезок — это средняя линия трапеции $A_1B_1C_1D_1$.

Построение:

Исходя из вышесказанного, для построения проекции средней линии трапеции необходимо выполнить следующие шаги:
1. В заданном четырехугольнике $A_1B_1C_1D_1$ определить пару параллельных сторон (оснований). Пусть это будут стороны $A_1D_1$ и $B_1C_1$. Соответственно, стороны $A_1B_1$ и $C_1D_1$ являются боковыми.
2. Найти и отметить точку $M_1$ — середину боковой стороны $A_1B_1$.
3. Найти и отметить точку $N_1$ — середину боковой стороны $C_1D_1$.
4. Соединить точки $M_1$ и $N_1$ отрезком.

На рисунке ниже показан пример такого построения.

На рисунке показана проекция трапеции $A_1B_1C_1D_1$ с основаниями $A_1D_1$ и $B_1C_1$. Точка $M_1$ — середина боковой стороны $A_1B_1$, а точка $N_1$ — середина боковой стороны $C_1D_1$. Отрезок $M_1N_1$, показанный красной пунктирной линией, является искомой проекцией средней линии.

Ответ: Проекцией средней линии трапеции является средняя линия ее проекции. Для построения необходимо найти середины боковых (непараллельных) сторон проекции трапеции и соединить их отрезком.