Страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое параллельное проектирование?

2. Какими свойствами обладает параллельное проектирование?

3. Какое параллельное проектирование называется ортогональным проектированием?

4. Какой формулой определяется площадь ортогональной проекции многоугольника?

5. Сформулируйте основные правила изображения пространственных фигур на плоскости.

1. Что такое параллельное проектирование?

Параллельное проектирование — это один из способов изображения пространственных фигур на плоскости. Для его осуществления задаются плоскость проекций (обозначим её $ \pi $) и направление проектирования — прямая $l$, пересекающая плоскость $ \pi $.

Чтобы построить проекцию произвольной точки $A$ пространства, через неё проводят прямую, параллельную прямой $l$. Точка пересечения этой прямой с плоскостью $ \pi $ и будет параллельной проекцией точки $A$ (обозначается $A'$). Совокупность проекций всех точек данной фигуры $F$ называется её параллельной проекцией $F'$.

Ответ: Параллельное проектирование — это отображение точек пространства на плоскость, при котором все проецирующие прямые параллельны друг другу и заданному направлению.

2. Какими свойствами обладает параллельное проектирование?

Параллельное проектирование обладает рядом важных свойств, которые позволяют сохранять некоторые характеристики исходных фигур:

1. Проекцией прямой является прямая (если исходная прямая не параллельна направлению проектирования) или точка (если прямая параллельна направлению проектирования).
2. Проекцией отрезка является отрезок.
3. Если точка делит отрезок в определенном отношении, то ее проекция делит проекцию отрезка в том же самом отношении. В частности, середина отрезка проецируется в середину его проекции.
4. Проекции параллельных отрезков параллельны друг другу или лежат на одной прямой. Отношение длин таких отрезков сохраняется.
5. Длины отрезков и величины углов, как правило, не сохраняются.

Ответ: Основные свойства параллельного проектирования: проекция прямой — прямая, сохранение параллельности отрезков и отношения их длин, сохранение отношения, в котором точка делит отрезок.

3. Какое параллельное проектирование называется ортогональным проектированием?

Ортогональное (или прямоугольное) проектирование — это частный случай параллельного проектирования, при котором направление проектирования $l$ перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций $ \pi $.

Это означает, что все проецирующие прямые, соединяющие точки фигуры с их проекциями, образуют прямой угол с плоскостью проекций. Ортогональное проектирование широко используется в инженерной графике (например, для построения чертежей) из-за его наглядности и сохранения некоторых метрических свойств фигур, параллельных плоскости проекции.

Ответ: Ортогональным проектированием называется параллельное проектирование, у которого направление проектирования перпендикулярно плоскости проекций.

4. Какой формулой определяется площадь ортогональной проекции многоугольника?

Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость связана с площадью самого многоугольника и углом между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Если $S$ — площадь многоугольника, а $S_{пр}$ — площадь его ортогональной проекции, то они связаны следующей формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos{\alpha}$

Здесь $ \alpha $ — это угол между плоскостью, в которой лежит многоугольник, и плоскостью проекции. Этот угол находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если многоугольник параллелен плоскости проекции, то $\alpha = 0^\circ$, $\cos{\alpha} = 1$ и $S_{пр} = S$. Если многоугольник перпендикулярен плоскости проекции, то $\alpha = 90^\circ$, $\cos{\alpha} = 0$ и $S_{пр} = 0$ (проекцией будет отрезок).

Ответ: Площадь ортогональной проекции многоугольника определяется формулой $S_{пр} = S \cdot \cos{\alpha}$, где $S$ — площадь многоугольника, а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

5. Сформулируйте основные правила изображения пространственных фигур на плоскости.

При изображении пространственных фигур на плоскости (например, на бумаге или экране) с помощью параллельного проектирования придерживаются следующих основных правил, которые вытекают из его свойств:

1. Сохранение параллельности: Параллельные прямые в пространстве изображаются параллельными прямыми на плоскости.
2. Сохранение отношения длин: Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется. Это позволяет, например, изображать середину отрезка как середину его проекции.
3. Изображение плоских фигур: Произвольная плоская фигура (например, треугольник, параллелограмм) изображается на плоскости проекций фигурой того же вида или вырожденной в отрезок. Например, треугольник всегда изображается треугольником, а параллелограмм — параллелограммом. Круг, как правило, изображается эллипсом.
4. Правило видимости: Для наглядности чертежа видимые линии и контуры фигуры изображают сплошными линиями, а невидимые (скрытые другими частями фигуры) — штриховыми (пунктирными) линиями.

Ответ: Основные правила изображения пространственных фигур на плоскости: параллельные прямые изображаются параллельными; сохраняется отношение длин отрезков на параллельных прямых; используются условные изображения для стандартных фигур (круг — эллипс); видимые линии изображаются сплошными, а невидимые — штриховыми.

Практическая работа

1. Изобразите треугольную пирамиду так, чтобы основание высоты:

1) совпадало с точкой пересечения медиан треугольника при основании;

2) совпадало с одной из вершин основания;

3) находилось на середине одной из сторон основания;

4) находилось вне треугольника при основании.

2. Выполните задание 1 для четырехугольной пирамиды, основанием которой служит квадрат.

3. Постройте изображение знакомых вам многогранников:

1) куба;

2) параллелепипеда.

1. Изобразите треугольную пирамиду так, чтобы основание высоты:

1) совпало с точкой пересечения медиан треугольника при основании;

Для построения пирамиды $SABC$, у которой основание высоты совпадает с точкой пересечения медиан основания, необходимо выполнить следующие шаги. Сначала изобразим основание — треугольник $ABC$. Затем проведем в нем медианы (например, $AM_1$ и $BM_2$), которые пересекаются в точке $O$. Эта точка $O$, называемая центроидом треугольника, и будет основанием высоты. Далее из точки $O$ восстановим перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$ и на этом перпендикуляре выберем точку $S$ — вершину пирамиды. Отрезок $SO$ является высотой пирамиды. Если основание $\triangle ABC$ — равносторонний треугольник, то такая пирамида называется правильной.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

2) совпало с одной из вершин основания;

В этом случае высота пирамиды совпадает с одним из ее боковых ребер. Пусть основанием высоты является вершина $A$ основания $ABC$. Это означает, что боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $\triangle ABC$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости, например, сторонам $AB$ и $AC$. Треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

3) находилось на середине одной из сторон основания;

Пусть основание высоты $H$ находится на середине стороны $AC$ основания $\triangle ABC$. Для построения проведем высоту $SH$ из точки $H$ перпендикулярно плоскости основания. Соединим вершину $S$ с вершинами основания $A$, $B$ и $C$. В этом случае высота пирамиды $SH$ также является медианой и высотой в боковой грани $\triangle SAC$, поэтому эта грань является равнобедренным треугольником ($SA=SC$).

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

4) находилось вне треугольника при основании.

Для построения такой пирамиды, называемой наклонной, выберем точку $H$ (основание высоты) вне треугольника основания $ABC$. Из точки $H$ восстановим перпендикуляр к плоскости основания и на нем отметим вершину $S$. Соединим $S$ с вершинами $A, B, C$. Высота $SH$ в данном случае будет лежать вне самой пирамиды.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

2. Выполните задание 1 для четырехугольной пирамиды, основанием которой служит квадрат.

1) Основание высоты совпадает с точкой пересечения диагоналей квадрата.

Для квадрата точка пересечения диагоналей является его центром. Пирамида, у которой вершина проецируется в центр правильного многоугольника в основании, называется правильной. Изобразим основание $ABCD$ в виде параллелограмма (так как мы смотрим на квадрат в перспективе). Проведем диагонали $AC$ и $BD$, найдем их точку пересечения $O$. Из точки $O$ восстановим перпендикуляр $SO$ к плоскости основания, где $S$ — вершина пирамиды. $SO$ — высота пирамиды.

Ответ: Изображение правильной четырехугольной пирамиды представлено выше.

2) Основание высоты совпадает с одной из вершин квадрата.

Пусть основание высоты совпадает с вершиной $A$ квадрата $ABCD$. Тогда боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Это значит, что боковые грани $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ являются прямоугольными треугольниками. Ребро $SA$ является высотой пирамиды.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

3) Основание высоты находится на середине одной из сторон квадрата.

Пусть основание высоты $H$ является серединой стороны $AD$. Из точки $H$ восстановим перпендикуляр $SH$ к плоскости основания. Боковая грань $\triangle SAD$ будет равнобедренным треугольником ($SA=SD$), а ее высота $SH$ будет являться и высотой всей пирамиды.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

4) Основание высоты находится вне квадрата.

Выберем точку $H$ вне квадрата $ABCD$. Из точки $H$ проведем перпендикуляр $SH$ к плоскости основания. Соединив точку $S$ с вершинами квадрата, получим наклонную пирамиду, высота которой находится вне многогранника.

Ответ: Изображение пирамиды представлено выше.

3. Постройте изображение знакомых вам многогранников:

1) куба;

Куб — это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны, все углы прямые. Для изображения куба в перспективе (аксонометрической проекции) его переднюю грань часто рисуют в виде квадрата, а рёбра, уходящие вглубь, — под углом к горизонтали и с некоторым укорочением. Невидимые рёбра изображаются пунктирными линиями.

Ответ: Изображение куба представлено выше.

2) параллелепипеда.

Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм. Куб является частным случаем параллелепипеда. В общем случае грани параллелепипеда — произвольные параллелограммы. Параллелепипед может быть прямым (боковые ребра перпендикулярны основанию) или наклонным (боковые ребра не перпендикулярны основанию). Ниже представлен наклонный параллелепипед.

Ответ: Изображение параллелепипеда представлено выше.

2.89. Постройте прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (многогранник, у которого все грани – прямоугольники), если:

1) $AB = 2$ см, $AD = 4$ см, $AA_1 = 3$ см;

2) $AB = 5$ см, $AD = 3$ см, $AA_1 = 6$ см.

Задача состоит в построении прямого параллелепипеда, у которого все грани — прямоугольники (то есть, прямоугольного параллелепипеда), по заданным трем измерениям: длине, ширине и высоте. Построение будет выполнено в аксонометрической проекции для наглядности.

1) Построить прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с размерами $AB = 2$ см, $AD = 4$ см, $AA_1 = 3$ см.

Для построения фигуры в косоугольной фронтальной диметрической проекции выполним следующие шаги.1. Начнем с построения нижнего основания $ABCD$. Это прямоугольник, который в проекции изображается как параллелограмм. Ребро $AB$ (длина 2 см) изобразим горизонтальным отрезком. Ребро $AD$ (ширина 4 см), которое в пространстве перпендикулярно $AB$, изобразим под углом 45° к горизонтали. В данной проекции его длина сокращается вдвое, то есть изображается отрезком, соответствующим 2 см.2. Достроим параллелограмм $ABCD$, проведя отрезок $BC$, параллельный и равный $AD$, и отрезок $DC$, параллельный и равный $AB$.3. Из каждой вершины основания ($A, B, C, D$) проведем вертикальные ребра ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) длиной, равной высоте параллелепипеда (3 см).4. Соединим верхние концы вертикальных ребер, чтобы получить верхнее основание — прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$.5. Ребра, которые невидимы зрителю при взгляде спереди, сверху и справа ($AD, DC, DD_1$), изобразим штриховыми линиями. Остальные ребра изобразим сплошными линиями.

Ответ: Построение прямоугольного параллелепипеда с размерами $AB=2$ см, $AD=4$ см, $AA_1=3$ см представлено на рисунке выше.

2) Построить прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с размерами $AB = 5$ см, $AD = 3$ см, $AA_1 = 6$ см.

Построение аналогично предыдущему пункту, но с новыми размерами.1. Строим нижнее основание $ABCD$. Ребро $AB$ (длина 5 см) изображаем горизонтально. Ребро $AD$ (ширина 3 см) изображаем под углом 45° с сокращением длины вдвое (проекционная длина соответствует 1,5 см).2. Достраиваем параллелограмм $ABCD$.3. Из вершин $A, B, C, D$ проводим вертикальные ребра высотой 6 см, получая вершины $A_1, B_1, C_1, D_1$.4. Соединяем верхние вершины для получения грани $A_1B_1C_1D_1$.5. Невидимые ребра ($AD, DC, DD_1$) изображаем штриховой линией.

Ответ: Построение прямоугольного параллелепипеда с размерами $AB=5$ см, $AD=3$ см, $AA_1=6$ см представлено на рисунке выше.

2.90. Проекция каких фигур может быть точкой?

Проекция фигуры на плоскость — это множество проекций всех точек этой фигуры. Чтобы ортогональная (прямоугольная) проекция пространственной фигуры на плоскость была точкой, необходимо и достаточно, чтобы все точки этой фигуры принадлежали одной прямой, перпендикулярной этой плоскости.

Например, рассмотрим проекцию отрезка на плоскость. Если отрезок перпендикулярен плоскости проецирования, то все его точки спроецируются в одну и ту же точку на этой плоскости. Это иллюстрирует следующий рисунок:

На рисунке показан отрезок $AB$, который перпендикулярен плоскости $π$. При ортогональном проецировании все точки отрезка $AB$, включая его концы $A$ и $B$, проецируются в одну точку $A' = B'$ на плоскости $π$.

Таким образом, проекция может быть точкой для следующих фигур:
• Точка. Проекция точки на любую плоскость всегда является точкой.
• Отрезок прямой. Проекция отрезка будет точкой, если он расположен на прямой, перпендикулярной плоскости проекции.
• Прямая линия. Проекция прямой будет точкой, если сама прямая перпендикулярна плоскости проекции.
• Любая фигура, все точки которой лежат на одной прямой. Это обобщение предыдущих случаев. Если все точки фигуры лежат на одной прямой, и эта прямая перпендикулярна плоскости проекции, то проекцией всей фигуры будет одна точка.

Ответ: Проекция может быть точкой для любой фигуры, все точки которой лежат на одной прямой, при условии, что эта прямая перпендикулярна плоскости проецирования. Частными случаями таких фигур являются точка, отрезок прямой и прямая линия.

2.91. Проекции прямых $a$ и $b$ параллельны. Всегда ли верно утверждение, что $a \parallel b$? Обоснуйте ответ на рисунке.

Нет, утверждение, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), если их проекции параллельны, не всегда верно.

Две прямые в пространстве могут быть не параллельны друг другу (например, быть скрещивающимися), но при этом их параллельные проекции на некоторую плоскость будут параллельны. Это зависит от выбора направления проецирования.

Рассмотрим контрпример. Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Можно подобрать такое направление проецирования, что проецирующие плоскости $\alpha$ (проходящая через прямую $a$ параллельно направлению проецирования) и $\beta$ (проходящая через прямую $b$ параллельно тому же направлению) будут параллельны. Тогда любая плоскость проекций $\pi$, пересекающая эти параллельные плоскости, в сечении образует две параллельные прямые $a'$ и $b'$, которые и являются проекциями исходных прямых $a$ и $b$.

Этот случай проиллюстрирован на рисунке ниже.

На рисунке изображены две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$, лежащие в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. При проецировании на плоскость $\pi$ их проекции $a'$ и $b'$ являются параллельными прямыми. Однако сами прямые $a$ и $b$ не параллельны.

Ответ: Нет, не всегда. Если проекции прямых $a$ и $b$ параллельны, то сами прямые могут быть как параллельными, так и скрещивающимися.

2.92. В каких случаях проекция отрезка на плоскость $\alpha$:

1) равна самому отрезку;

2) есть точка?

Под ортогональной проекцией отрезка на плоскость понимается отрезок, соединяющий ортогональные проекции его концов на эту плоскость. Длина проекции отрезка связана с длиной самого отрезка и углом между прямой, содержащей отрезок, и плоскостью.

Пусть дан отрезок $AB$ и плоскость $\alpha$. Пусть $A'B'$ — его ортогональная проекция на плоскость $\alpha$. Длина проекции вычисляется по формуле: $ |A'B'| = |AB| \cdot \cos(\varphi) $, где $\varphi$ — угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$ ($0^\circ \leq \varphi \leq 90^\circ$).

1) Проекция отрезка равна самому отрезку

Проекция отрезка $A'B'$ равна самому отрезку $AB$, если их длины равны: $|A'B'| = |AB|$.
Исходя из формулы, это условие выполняется, когда:$|AB| \cdot \cos(\varphi) = |AB|$.

Так как длина отрезка $|AB|$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $|AB|$:$\cos(\varphi) = 1$.

Косинус угла равен 1, только если сам угол равен $0^\circ$. Таким образом, $\varphi = 0^\circ$.Угол между прямой и плоскостью равен нулю, если прямая параллельна плоскости или лежит в ней.Следовательно, проекция отрезка на плоскость равна самому отрезку, если отрезок параллелен плоскости проекции (или лежит в ней).

Ответ: Проекция отрезка на плоскость равна самому отрезку в том случае, если отрезок параллелен этой плоскости или лежит в ней.

2) Проекция отрезка есть точка

Проекция отрезка $A'B'$ является точкой, если ее длина равна нулю: $|A'B'| = 0$. Это означает, что точки $A'$ и $B'$ совпадают.
Используя ту же формулу, получаем:$|AB| \cdot \cos(\varphi) = 0$.

Поскольку мы рассматриваем отрезок, его длина $|AB|$ не равна нулю. Следовательно, равенство может выполняться только если:$\cos(\varphi) = 0$.

Косинус угла равен нулю, если угол равен $90^\circ$. Таким образом, $\varphi = 90^\circ$.Угол между прямой и плоскостью равен $90^\circ$, если прямая перпендикулярна этой плоскости.Следовательно, проекция отрезка на плоскость является точкой, если отрезок лежит на прямой, перпендикулярной плоскости проекции.

Ответ: Проекция отрезка на плоскость есть точка в том случае, если отрезок перпендикулярен этой плоскости.