Страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.104. $\triangle A_1 B_1 C_1$ является проекцией $\triangle ABC$ и плоскости $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ параллельны. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1 B_1 C_1$.

Пусть плоскость, в которой лежит треугольник $\triangle ABC$, обозначается как $\alpha$, а плоскость, в которой лежит его проекция $\triangle A_1B_1C_1$, обозначается как $\beta$. Согласно условию задачи, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Тот факт, что $\triangle A_1B_1C_1$ является проекцией $\triangle ABC$, означает, что мы имеем дело с параллельным проецированием. При параллельном проецировании все проецирующие прямые параллельны некоторому направлению. Таким образом, прямые, соединяющие соответственные вершины, параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$.

Для доказательства равенства (конгруэнтности) треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ докажем равенство их соответствующих сторон (по признаку SSS).

1. Рассмотрим сторону $AB$ треугольника $\triangle ABC$ и ее проекцию $A_1B_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$. Так как проецирующие прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, то через них можно провести единственную плоскость. В этой плоскости лежат точки $A, B, B_1, A_1$, образуя четырехугольник $ABB_1A_1$.

2. Плоскость четырехугольника $ABB_1A_1$ пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллельных плоскостей, прямые их пересечения с третьей плоскостью параллельны. Прямая пересечения плоскости $ABB_1A_1$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $AB$. Прямая пересечения с плоскостью $\beta$ — это прямая $A_1B_1$. Следовательно, $AB \parallel A_1B_1$.

3. Теперь рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. Мы установили, что его противоположные стороны попарно параллельны: $AA_1 \parallel BB_1$ (по определению параллельной проекции) и $AB \parallel A_1B_1$ (по свойству пересечения параллельных плоскостей). Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $ABB_1A_1$ — это параллелограмм.

4. Одним из свойств параллелограмма является равенство длин его противоположных сторон. Следовательно, $AB = A_1B_1$.

5. Проводя аналогичные рассуждения для двух других сторон треугольника, мы можем доказать, что четырехугольники $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$ также являются параллелограммами. Из этого следует равенство их противоположных сторон: $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$.

6. В результате мы доказали, что стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны сторонам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$.

7. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.105. Сумма длин всех ребер параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 72 см. Найдите длину каждого ребра, если $AB : BC = 2 : 3$, $BC : B_1B = 3 : 4$.

Пусть длины трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, равны $a$, $b$ и $c$. Для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ это ребра $AB$, $BC$ и $B_1B$. Таким образом, $a = AB$, $b = BC$, $c = B_1B$.

Всего у параллелепипеда 12 ребер: 4 ребра длиной $a$, 4 ребра длиной $b$ и 4 ребра длиной $c$. Сумма длин всех ребер $L$ определяется формулой: $L = 4a + 4b + 4c = 4(a + b + c)$

Согласно условию задачи, сумма длин всех ребер равна 72 см. Подставим это значение в формулу: $4(a + b + c) = 72$ Разделим обе части уравнения на 4: $a + b + c = 18$

Также в условии даны соотношения между длинами ребер: $AB : BC = 2 : 3$, что означает $a : b = 2 : 3$. $BC : B_1B = 3 : 4$, что означает $b : c = 3 : 4$.

Мы можем объединить эти два отношения в одно, поскольку ребро $BC$ (длина $b$) имеет одну и ту же пропорциональную часть (3) в обоих отношениях: $a : b : c = 2 : 3 : 4$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины ребер можно выразить следующим образом: $a = 2x$ $b = 3x$ $c = 4x$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для суммы длин трех различных ребер: $2x + 3x + 4x = 18$ $9x = 18$ $x = \frac{18}{9}$ $x = 2$

Зная значение $x$, найдем длины каждого ребра: Длина ребра $AB = a = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см. Длина ребра $BC = b = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см. Длина ребра $B_1B = c = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: длины ребер параллелепипеда равны 4 см, 6 см и 8 см.

2.106. Ребро куба равно $a$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть одна из вершин куба, например, вершина $A$, находится в начале координат $(0,0,0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Так как длина ребра куба равна $a$, то вершины куба будут иметь следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$, $D_1(0,a,a)$, $C_1(a,a,a)$.

Скрещивающиеся ребра — это ребра, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. В силу симметрии куба, расстояние между серединами любой пары скрещивающихся ребер будет одинаковым. Выберем для расчета два скрещивающихся ребра, например, ребро $AB$ и ребро $CC_1$.

Найдем координаты середин выбранных ребер.
Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Координаты точки $M$ вычисляются как среднее арифметическое координат точек $A(0,0,0)$ и $B(a,0,0)$:$M = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$
Пусть $N$ — середина ребра $CC_1$. Координаты точки $N$ вычисляются как среднее арифметическое координат точек $C(a,a,0)$ и $C_1(a,a,a)$:$N = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(a, a, \frac{a}{2}\right)$

Теперь найдем длину отрезка $MN$, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$Подставим координаты точек $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$ и $N(a, a, \frac{a}{2})$:$MN = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + (a - 0)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2}$$MN = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$MN = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4}}$$MN = \sqrt{\frac{2a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}}$Упростим выражение:$MN = \frac{\sqrt{3a^2}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Ответ: Длина отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер куба, равна $\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

2.107. Отметьте на ребрах $SB$, $SC$ и $BC$ тетраэдра $SABC$ точки $P$, $Q$, $R$ соответственно. Найдите точку пересечения:

1) прямой $PQ$ и плоскости $ABC$;

2) прямой $QR$ и плоскости $ABS$.

Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью используется метод следов. Суть метода заключается в построении вспомогательной плоскости, проходящей через данную прямую, и нахождении линии пересечения этой вспомогательной плоскости с данной плоскостью. Искомая точка пересечения будет лежать на этой линии.

1) прямой PQ и плоскости ABC

Чтобы найти точку пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $ABC$, рассмотрим вспомогательную плоскость, содержащую прямую $PQ$.

Точка $P$ лежит на ребре $SB$, а точка $Q$ — на ребре $SC$. Оба ребра $SB$ и $SC$ принадлежат грани $SBC$. Следовательно, вся прямая $PQ$ лежит в плоскости $(SBC)$.

Искомая точка пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $ABC$ должна принадлежать обеим этим плоскостям, то есть она должна лежать на линии их пересечения. Плоскости $(SBC)$ и $(ABC)$ пересекаются по прямой $BC$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точки пересечения двух прямых — $PQ$ и $BC$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(SBC)$. Если предположить, что прямые $PQ$ и $BC$ не параллельны (что является общим случаем), то они пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку $X_1$.

Точка $X_1$ принадлежит прямой $PQ$ по построению. Также точка $X_1$ принадлежит прямой $BC$, а значит, и плоскости $(ABC)$. Следовательно, $X_1$ — искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямых $PQ$ и $BC$, лежащих в плоскости $SBC$.

2) прямой QR и плоскости ABS

Чтобы найти точку пересечения прямой $QR$ с плоскостью $ABS$, применим аналогичный подход.

Точка $Q$ лежит на ребре $SC$, а точка $R$ — на ребре $BC$. Оба ребра $SC$ и $BC$ принадлежат грани $SBC$. Следовательно, вся прямая $QR$ лежит в плоскости $(SBC)$.

Искомая точка пересечения прямой $QR$ с плоскостью $ABS$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(SBC)$ и $(ABS)$. Эти плоскости имеют две общие точки — $S$ и $B$, следовательно, они пересекаются по прямой $SB$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точки пересечения двух прямых — $QR$ и $SB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(SBC)$. В общем случае они не параллельны, а значит, пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку $X_2$.

Точка $X_2$ принадлежит прямой $QR$ по построению. Также точка $X_2$ принадлежит прямой $SB$, а значит, и плоскости $(ABS)$. Следовательно, $X_2$ — искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямых $QR$ и $SB$, лежащих в плоскости $SBC$.

2.108. Параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и острым углом между ними в $45^\circ$ является ортогональной проекцией ромба, один из углов которого равен $120^\circ$. Найдите сторону ромба, если угол между плоскостями ромба и параллелограмма равен $60^\circ$.

Пусть сторона ромба равна $x$. Один из углов ромба равен $120^\circ$, следовательно, второй угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Площадь ромба $S_{ромб}$ можно вычислить по формуле площади параллелограмма через две стороны и угол между ними:

$S_{ромб} = x \cdot x \cdot \sin(60^\circ) = x^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Параллелограмм является ортогональной проекцией ромба. Площадь ортогональной проекции фигуры $S_{пр}$ связана с площадью исходной фигуры $S_{фиг}$ и углом $\phi$ между их плоскостями соотношением:

$S_{пр} = S_{фиг} \cdot \cos(\phi)$.

В нашем случае, угол между плоскостями ромба и параллелограмма равен $\phi = 60^\circ$. Таким образом, площадь параллелограмма (проекции) равна:

$S_{пар} = S_{ромб} \cdot \cos(60^\circ) = \left(x^2 \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

С другой стороны, по условию задачи, проекцией является параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и острым углом между ними $45^\circ$. Его площадь равна:

$S_{пар} = a \cdot b \cdot \sin(45^\circ) = ab \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Приравнивая два выражения для площади параллелограмма, получаем связь между сторонами $a$, $b$ и стороной ромба $x$:

$ab \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$

$ab = \frac{x^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{x^2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{x^2\sqrt{6}}{4}$. (1)

Теперь рассмотрим диагонали. Диагонали ромба $d_1$ и $d_2$ можно найти, зная его сторону $x$ и углы. Они взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

$d_1 = 2x \sin\frac{60^\circ}{2} = 2x \sin(30^\circ) = 2x \cdot \frac{1}{2} = x$.

$d_2 = 2x \cos\frac{60^\circ}{2} = 2x \cos(30^\circ) = 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = x\sqrt{3}$.

Проекциями диагоналей ромба являются диагонали параллелограмма, обозначим их $D_1$ и $D_2$. Длина проекции отрезка зависит от его ориентации относительно линии пересечения плоскостей. Пусть одна из диагоналей ромба ($d_1$) образует угол $\theta$ с линией пересечения плоскостей. Так как диагонали ромба перпендикулярны, вторая диагональ ($d_2$) будет образовывать угол $90^\circ + \theta$ с этой же линией. Длина проекции отрезка $L$ вычисляется по формуле $L_{пр}^2 = L^2 (1 - \sin^2\phi \sin^2\psi)$, где $\psi$ — угол между отрезком и линией пересечения плоскостей.

$D_1^2 = d_1^2 (1 - \sin^2(60^\circ)\sin^2\theta) = x^2(1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2\sin^2\theta) = x^2(1 - \frac{3}{4}\sin^2\theta)$.

$D_2^2 = d_2^2 (1 - \sin^2(60^\circ)\sin^2(90^\circ+\theta)) = (x\sqrt{3})^2(1 - \frac{3}{4}\cos^2\theta) = 3x^2(1 - \frac{3}{4}\cos^2\theta)$.

С другой стороны, для параллелограмма со сторонами $a$, $b$ и углами $45^\circ$ и $135^\circ$ квадраты диагоналей по теореме косинусов равны:

$D_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(45^\circ) = a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}$.

$D_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(135^\circ) = a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}$.

Вычтем одно из другого:

$D_2^2 - D_1^2 = (a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}) - (a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}) = 2ab\sqrt{2}$.

Подставим сюда выражение (1) для $ab$:

$D_2^2 - D_1^2 = 2 \left(\frac{x^2\sqrt{6}}{4}\right)\sqrt{2} = \frac{x^2\sqrt{12}}{2} = \frac{x^2 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = x^2\sqrt{3}$.

Теперь приравняем это выражение к разности квадратов проекций диагоналей, которые мы получили ранее:

$x^2\sqrt{3} = 3x^2(1 - \frac{3}{4}\cos^2\theta) - x^2(1 - \frac{3}{4}\sin^2\theta)$.

Сократим на $x^2$ (поскольку $x \ne 0$):

$\sqrt{3} = 3 - \frac{9}{4}\cos^2\theta - 1 + \frac{3}{4}\sin^2\theta = 2 - \frac{9}{4}\cos^2\theta + \frac{3}{4}(1-\cos^2\theta)$.

$\sqrt{3} = 2 - \frac{9}{4}\cos^2\theta + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}\cos^2\theta$.

$\sqrt{3} = \frac{11}{4} - \frac{12}{4}\cos^2\theta = \frac{11}{4} - 3\cos^2\theta$.

$3\cos^2\theta = \frac{11}{4} - \sqrt{3} \implies \cos^2\theta = \frac{11 - 4\sqrt{3}}{12}$.

Это уравнение определяет ориентацию ромба относительно линии пересечения плоскостей. Однако, все использованные соотношения являются однородными уравнениями второй степени относительно переменных $a, b, x$. Это означает, что если $(a,b,x)$ является решением, то и $(ka, kb, kx)$ для любого $k > 0$ также будет решением. Таким образом, имеющихся в задаче данных недостаточно для однозначного определения величины $x$. Для любой стороны ромба $x$ можно найти соответствующую ориентацию и получить в проекции параллелограмм с углом $45^\circ$.

Ответ: На основе предоставленных данных невозможно однозначно определить сторону ромба. Задача, вероятно, содержит ошибку или неполные условия.

2.109. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды (основание пирамиды есть квадрат, а центр квадрата является основанием высоты пирамиды), сторона основания которой равна $a$, а боковое ребро равно $b$.

Для нахождения высоты правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота пирамиды $h$, боковое ребро $b$ и половина диагонали основания.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $a$, а $S$ — вершина пирамиды. Высота $SO=h$ проведена из вершины $S$ к центру основания $O$. Боковое ребро, например $SB$, по условию равно $b$.

Треугольник $SOB$ является прямоугольным, так как высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости (в частности, отрезку $OB$). В этом треугольнике:
• гипотенуза $SB$ равна боковому ребру $b$;
• катет $SO$ — это искомая высота $h$;
• катет $OB$ — это половина диагонали основания.

Согласно теореме Пифагора: $SO^2 + OB^2 = SB^2$, что можно записать как $h^2 + OB^2 = b^2$.

Для того чтобы найти $h$, нам нужно сначала вычислить длину отрезка $OB$. $OB$ — это половина диагонали $BD$ квадрата $ABCD$. Найдем длину диагонали $BD$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABD$ (угол $A=90^\circ$):
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Следовательно, длина диагонали $BD = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как точка $O$ является центром квадрата (точкой пересечения диагоналей), она делит диагональ $BD$ пополам:
$OB = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим найденное значение $OB$ в уравнение для высоты:
$h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2$

Упростим полученное выражение:
$h^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = b^2$
$h^2 + \frac{a^2}{2} = b^2$

Наконец, выразим высоту $h$ из этого уравнения:
$h^2 = b^2 - \frac{a^2}{2}$
$h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$

Ответ: $h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$

2.110. Найдите длину основания правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно $b$, а плоский угол при вершине равен $\varphi$.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABC, где S — вершина, а ABCD — квадрат в основании. Обозначим искомую длину стороны основания как $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$. По условию, длина бокового ребра равна $b$ ($SA = SB = SC = SD = b$), а плоский угол при вершине равен $\phi$ (например, $\angle ASB = \phi$).

Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды, например, треугольник ASB. Так как пирамида правильная, все боковые ребра равны, поэтому треугольник ASB является равнобедренным с основанием AB и боковыми сторонами $SA = SB = b$. Угол при вершине S этого треугольника равен $\phi$.

Для нахождения длины основания $a$ (стороны AB) мы можем использовать свойства этого равнобедренного треугольника. Проведем из вершины S высоту SH к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Из этого следует, что:
1. Точка H является серединой отрезка AB, поэтому $AH = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.
2. Прямая SH является биссектрисой угла ASB, поэтому $\angle ASH = \frac{\angle ASB}{2} = \frac{\phi}{2}$.
3. Треугольник ASH является прямоугольным, с прямым углом при вершине H.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ASH. Мы знаем гипотенузу $SA=b$ и угол $\angle ASH = \frac{\phi}{2}$, противолежащий катету AH. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $ \sin(\angle ASH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{SA} $

Подставим известные нам значения: $ \sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{a/2}{b} $

Осталось выразить из этого уравнения искомую величину $a$:
$ \frac{a}{2} = b \cdot \sin(\frac{\phi}{2}) $
$ a = 2b \sin(\frac{\phi}{2}) $

Ответ: $2b \sin(\frac{\phi}{2})$

2.111. Дан параллелограмм, который является проекцией ромба, с острым углом в $60^\circ$. Постройте проекцию высоты ромба, проведенной из вершины тупого угла.

Пусть данный параллелограмм $ABCD$ является проекцией ромба $A'B'C'D'$. Пусть острый угол ромба равен $60^\circ$. Без ограничения общности, пусть $\angle A' = \angle C' = 60^\circ$, тогда тупые углы ромба равны $\angle B' = \angle D' = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Задача состоит в том, чтобы построить проекцию высоты ромба, проведенной из вершины тупого угла. Рассмотрим высоту, проведенную из вершины $D'$ на сторону $A'B'$. Обозначим основание этой высоты как $H'$. Таким образом, $D'H' \perp A'B'$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A'H'D'$. В нем катет $A'H'$ можно выразить через гипотенузу $A'D'$ и угол $\angle A'$:$A'H' = A'D' \cdot \cos(\angle A') = A'D' \cdot \cos(60^\circ) = A'D' \cdot \frac{1}{2}$.

Поскольку $A'B'C'D'$ — ромб, все его стороны равны, в частности $A'D' = A'B'$.Следовательно, $A'H' = \frac{1}{2} A'B'$. Это означает, что основание высоты $H'$ является серединой стороны $A'B'$.

Проекция сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, середина отрезка проецируется в середину его проекции. Таким образом, проекция точки $H'$ (середины $A'B'$) будет точкой $H$, которая является серединой проекции отрезка $A'B'$, то есть стороны $AB$ данного параллелограмма.

Проекцией высоты $D'H'$ является отрезок $DH$.

Построение:

1. В данном параллелограмме $ABCD$ выберем вершину тупого угла. Пусть это будет вершина $D$.

2. Найдем середину $H$ противоположной стороны $AB$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки (построив серединный перпендикуляр) или просто измерив и разделив длину пополам.

3. Соединим отрезком вершину $D$ и точку $H$.

Полученный отрезок $DH$ и есть искомая проекция высоты ромба.

Примечание: Аналогично можно было бы построить проекцию высоты из вершины $D$ на сторону $BC$. Ее основанием оказалась бы середина стороны $BC$. Также можно было бы провести построение из другой тупой вершины $B$.

Ответ: Проекцией высоты ромба, проведенной из вершины тупого угла, является отрезок, соединяющий эту вершину с серединой одной из противоположных сторон параллелограмма. Построение показано на рисунке.

2.112. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 8 см. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника $AB_1C$ на:

1) плоскость $ABCD$;

2) плоскость $AA_1C_1C$.

Дано: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = 8$ см.
Нужно найти площадь ортогональной проекции треугольника $AB_1C$ на две плоскости.

На рисунке исходный треугольник $AB_1C$ закрашен синим цветом. Проекция на плоскость $ABCD$ закрашена красным, а проекция на плоскость $AA_1C_1C$ — зеленым.

1) плоскость ABCD

Ортогональная проекция фигуры на плоскость — это множество проекций всех точек этой фигуры на данную плоскость. Найдем проекции вершин треугольника $AB_1C$ на плоскость основания $ABCD$.

- Вершина $A$ лежит в плоскости $ABCD$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $A$.
- Вершина $C$ лежит в плоскости $ABCD$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $C$.
- Ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, следовательно, проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $B$.

Таким образом, ортогональной проекцией треугольника $AB_1C$ на плоскость $ABCD$ является треугольник $ABC$.

Так как $ABCD$ — грань куба, то это квадрат. Значит, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Его катеты $AB$ и $BC$ являются ребрами куба, длина которых равна 8 см.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения его катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ см².

Ответ: 32 см².

2) плоскость AA₁C₁C

Теперь найдем ортогональную проекцию треугольника $AB_1C$ на диагональную плоскость $AA_1C_1C$.

- Вершины $A$ и $C$ лежат в плоскости $AA_1C_1C$, поэтому их проекции совпадают с самими точками.
- Чтобы найти проекцию вершины $B_1$, опустим из нее перпендикуляр на плоскость $AA_1C_1C$. Диагональ $B_1D_1$ верхней грани перпендикулярна диагонали $A_1C_1$ (так как $A_1B_1C_1D_1$ - квадрат). Ребро $AA_1$ перпендикулярно всей верхней грани, а значит, и прямой $B_1D_1$. Так как прямая $B_1D_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1C_1$ и $AA_1$) в плоскости $AA_1C_1C$, она перпендикулярна всей этой плоскости. Проекцией точки $B_1$ на плоскость $AA_1C_1C$ является точка $O_1$ — центр верхней грани (точка пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$).

Следовательно, проекцией треугольника $AB_1C$ на плоскость $AA_1C_1C$ является треугольник $AO_1C$.

Найдем площадь этого треугольника. Его основание $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.
$AC = 8\sqrt{2}$ см.

Высотой треугольника $AO_1C$, проведенной из вершины $O_1$ к основанию $AC$, является перпендикуляр, опущенный из $O_1$ на прямую $AC$. Сечение $AA_1C_1C$ является прямоугольником. Точка $O_1$ лежит на стороне $A_1C_1$, которая параллельна стороне $AC$. Расстояние между этими параллельными сторонами равно длине бокового ребра $AA_1$. Следовательно, высота треугольника $AO_1C$ равна $h = AA_1 = 8$ см.

Площадь треугольника $AO_1C$ равна:
$S_{AO_1C} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².

2.113. Как можно разрезать куб, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник?

Чтобы в сечении куба получился правильный шестиугольник, необходимо разрезать куб плоскостью, которая проходит через центр куба и перпендикулярна одной из его главных диагоналей (отрезков, соединяющих противоположные вершины).

Рассмотрим куб с ребром длины $a$. Для доказательства введем систему координат. Поместим одну из вершин куба, назовем ее $A$, в начало координат $(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты:$A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $D=(0,a,0)$, $A_1=(0,0,a)$,$C=(a,a,0)$, $B_1=(a,0,a)$, $D_1=(0,a,a)$, $C_1=(a,a,a)$.

Выберем главную диагональ $AC_1$, соединяющую вершины $A(0,0,0)$ и $C_1(a,a,a)$. Плоскость, перпендикулярная этой диагонали, имеет уравнение вида $x+y+z=k$. Поскольку плоскость должна проходить через центр куба с координатами $(a/2, a/2, a/2)$, подставим их в уравнение, чтобы найти $k$:$a/2 + a/2 + a/2 = 3a/2$.Таким образом, уравнение секущей плоскости: $x+y+z = 3a/2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Плоскость пересечет те ребра, которые соединяют вершины из двух групп: те, для которых $x+y+z < 3a/2$ (это $A, B, D, A_1$), и те, для которых $x+y+z > 3a/2$ (это $C, B_1, D_1, C_1$). Таких ребер шесть:

• Ребро $BC$: $x=a, z=0$. Подставляя в уравнение плоскости, получаем $a+y+0 = 3a/2$, откуда $y=a/2$. Точка пересечения $P_1(a, a/2, 0)$.
• Ребро $DC$: $y=a, z=0$. $x+a+0 = 3a/2$, откуда $x=a/2$. Точка пересечения $P_2(a/2, a, 0)$.
• Ребро $BB_1$: $x=a, y=0$. $a+0+z = 3a/2$, откуда $z=a/2$. Точка пересечения $P_3(a, 0, a/2)$.
• Ребро $DD_1$: $x=0, y=a$. $0+a+z = 3a/2$, откуда $z=a/2$. Точка пересечения $P_4(0, a, a/2)$.
• Ребро $A_1B_1$: $z=a, y=0$. $x+0+a = 3a/2$, откуда $x=a/2$. Точка пересечения $P_5(a/2, 0, a)$.
• Ребро $A_1D_1$: $z=a, x=0$. $0+y+a = 3a/2$, откуда $y=a/2$. Точка пересечения $P_6(0, a/2, a)$.

Все точки пересечения являются серединами соответствующих ребер. Эти шесть точек $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ являются вершинами шестиугольника, полученного в сечении.

Чтобы доказать, что шестиугольник $P_2P_1P_3P_5P_6P_4$ правильный, нужно проверить равенство длин его сторон и равенство внутренних углов.

Найдем квадраты длин сторон:

• $|P_2P_1|^2 = (a-a/2)^2 + (a/2-a)^2 + (0-0)^2 = (a/2)^2 + (-a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.
• $|P_1P_3|^2 = (a-a)^2 + (0-a/2)^2 + (a/2-0)^2 = 0 + (-a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.
• $|P_3P_5|^2 = (a/2-a)^2 + (0-0)^2 + (a-a/2)^2 = (-a/2)^2 + 0 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.

В силу симметрии, длины остальных сторон ($|P_5P_6|^2$, $|P_6P_4|^2$, $|P_4P_2|^2$) также будут равны $a^2/2$. Таким образом, все стороны шестиугольника равны $a/\sqrt{2}$.

Теперь проверим один из углов, например, угол при вершине $P_1$. Найдем векторы $\vec{P_1P_2}$ и $\vec{P_1P_3}$:

$\vec{P_1P_2} = (a/2-a, a-a/2, 0-0) = (-a/2, a/2, 0)$.

$\vec{P_1P_3} = (a-a, 0-a/2, a/2-0) = (0, -a/2, a/2)$.

Найдем косинус угла $\theta$ между этими векторами по формуле скалярного произведения:

$\cos \theta = \frac{\vec{P_1P_2} \cdot \vec{P_1P_3}}{|\vec{P_1P_2}| |\vec{P_1P_3}|} = \frac{(-a/2) \cdot 0 + (a/2) \cdot (-a/2) + 0 \cdot (a/2)}{\sqrt{a^2/2} \cdot \sqrt{a^2/2}} = \frac{-a^2/4}{a^2/2} = -1/2$.

Угол, косинус которого равен $-1/2$, составляет $120^\circ$. В силу симметрии, все внутренние углы шестиугольника равны $120^\circ$.

Так как все стороны и все углы шестиугольника равны, он является правильным.

Ответ: Чтобы в сечении куба получился правильный шестиугольник, нужно провести разрез плоскостью, проходящей через центр куба и перпендикулярной его главной диагонали. Вершины полученного шестиугольника будут лежать на серединах шести ребер куба, которые не пересекаются с выбранной диагональю.

2.114. Постройте сечение, проходящее через середины двух соседних боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды и перпендикулярное плоскости основания.

Для построения искомого сечения правильной четырехугольной пирамиды выполним следующие шаги анализа и построения.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и квадратным основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Тогда высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

По условию, сечение должно проходить через середины двух соседних боковых ребер. Выберем ребра $SA$ и $SB$ и обозначим их середины как $M$ и $N$ соответственно.

Также по условию, плоскость сечения должна быть перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Построение и доказательство

1. Анализ. Искомая плоскость сечения $\alpha$ содержит точки $M$ и $N$, а следовательно, и прямую $MN$. Так как $M$ и $N$ — середины сторон $SA$ и $SB$ в треугольнике $\Delta SAB$, то отрезок $MN$ является его средней линией. Отсюда следует, что прямая $MN$ параллельна прямой $AB$ ($MN \parallel AB$), которая лежит в плоскости основания.

2. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, любая прямая, параллельная $SO$, также перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Таким образом, наша задача сводится к построению плоскости, проходящей через прямую $MN$ и параллельной высоте $SO$.

3. Построение.

• Отмечаем точки $M$ и $N$ — середины боковых ребер $SA$ и $SB$. Соединяем их отрезком $MN$.
• Через точку $M$ проводим прямую, параллельную высоте $SO$. Так как $M \in SA$ и $O \in AC$, эта прямая лежит в плоскости диагонального сечения $(SAC)$ и пересекает отрезок $AO$ в некоторой точке $P$.
• В треугольнике $\Delta ASO$ отрезок $MP$ параллелен $SO$ и выходит из середины стороны $SA$. По теореме Фалеса, $P$ является серединой отрезка $AO$.
• Аналогично, через точку $N$ проводим прямую, параллельную $SO$. Эта прямая лежит в плоскости $(SBD)$ и пересекает отрезок $BO$ в точке $Q$. По теореме Фалеса, $Q$ является серединой отрезка $BO$.
• Соединяем точки $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ лежит в плоскости основания.
• Полученный четырехугольник $MNQP$ и есть искомое сечение.

Вместо ребер $SA$ и $SB$ можно было выбрать любую другую пару соседних боковых ребер, например, $SA$ и $SD$, как показано на рисунке. В этом случае $M$ — середина $SA$, $N$ — середина $SD$, $P$ — середина $AO$, $Q$ — середина $DO$. Построение и доказательство аналогичны.

4. Доказательство. Построенная плоскость $(MNQP)$ проходит через точки $M$ и $N$ по построению. Прямая $MP$ была построена параллельно высоте $SO$. Так как $SO \perp (ABC)$, то и $MP \perp (ABC)$. Поскольку плоскость $(MNQP)$ содержит прямую $MP$, перпендикулярную плоскости $(ABC)$, то по признаку перпендикулярности плоскостей $(MNQP) \perp (ABC)$. Таким образом, построенное сечение удовлетворяет всем условиям задачи.

5. Вид сечения. В $\Delta SAB$ отрезок $MN$ является средней линией, поэтому $MN \parallel AB$ и $MN = \frac{1}{2}AB$. В $\Delta ABO$ отрезок $PQ$ является средней линией, т.к. $P$ и $Q$ — середины сторон $AO$ и $BO$. Поэтому $PQ \parallel AB$ и $PQ = \frac{1}{2}AB$. Из $MN \parallel AB$ и $PQ \parallel AB$ следует, что $MN \parallel PQ$. Значит, $MNQP$ — трапеция (или параллелограмм). Рассмотрим боковые стороны трапеции $MP$ и $NQ$. В $\Delta ASO$ отрезок $MP$ является средней линией, $MP \parallel SO$ и $MP = \frac{1}{2}SO$. В $\Delta BSO$ отрезок $NQ$ является средней линией, $NQ \parallel SO$ и $NQ = \frac{1}{2}SO$. Следовательно, $MP=NQ$. Трапеция, у которой боковые стороны равны, является равнобедренной.

Ответ: Искомое сечение — равнобедренная трапеция $MNQP$, где $M$ и $N$ — середины двух соседних боковых ребер (например, $SA$ и $SB$), а точки $P$ и $Q$ — середины отрезков диагоналей основания, лежащих между вершинами основания и его центром (соответственно, $P$ — середина $AO$ и $Q$ — середина $BO$).

2.115. Сторона основания пирамиды из предыдущей задачи равна $a$, а высота $h$. Найдите площадь построенного сечения.

Поскольку задача ссылается на предыдущую (2.114), предполагается, что рассматривается правильная шестиугольная пирамида, а искомое сечение построено через ее вершину и меньшую диагональ основания.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Основанием является правильный шестиугольник ABCDEF со стороной $a$. Высота пирамиды SO равна $h$, где O — центр основания.

Сечение проходит через вершину S и меньшую диагональ основания, например, BD. Таким образом, искомое сечение — это треугольник SBD.

Для нахождения площади сечения (треугольника SBD) воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Так как пирамида правильная, все ее боковые ребра равны, значит $SB = SD$. Следовательно, треугольник SBD — равнобедренный. Его площадь равна $S_{SBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SK$, где SK — высота треугольника SBD, опущенная на основание BD.

1. Найдем длину основания BD (меньшей диагонали).В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Меньшая диагональ соединяет вершины через одну. Рассмотрим треугольник BCD. Стороны $BC = CD = a$, а угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов:$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.Отсюда, длина меньшей диагонали $BD = a\sqrt{3}$.

2. Найдем длину бокового ребра SB.Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB (SO — высота пирамиды, следовательно, $SO \perp OB$). Катет $SO = h$. Другой катет, OB, является радиусом описанной около правильного шестиугольника окружности, и его длина равна стороне шестиугольника, т.е. $OB = a$. По теореме Пифагора:$SB^2 = SO^2 + OB^2 = h^2 + a^2$.$SB = \sqrt{h^2 + a^2}$.

3. Найдем высоту SK треугольника SBD.Так как треугольник SBD равнобедренный, его высота SK, проведенная к основанию BD, является также и медианой. Следовательно, точка K — середина отрезка BD.Рассмотрим прямоугольный треугольник SKB. Гипотенуза $SB = \sqrt{h^2 + a^2}$. Катет $BK = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.По теореме Пифагора:$SK^2 = SB^2 - BK^2 = (h^2 + a^2) - (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = h^2 + a^2 - \frac{3a^2}{4} = h^2 + \frac{a^2}{4}$.$SK = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$.

4. Вычислим площадь сечения.$S_{SBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{3}) \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$.Упростим полученное выражение:$S_{SBD} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{4h^2 + a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4h^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4h^2 + a^2}}{4}$.Это выражение можно также записать как $S_{SBD} = \frac{a\sqrt{3(4h^2 + a^2)}}{4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3(4h^2 + a^2)}}{4}$.