Страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое вектор и как его обозначают?

2. Какие векторы называются коллинеарными? Приведите примеры сонаправленных и противоположно направленных векторов.

3. Какие векторы называются равными?

4. Какое преобразование называется параллельным переносом и как оно связано с вектором? Какими свойствами обладает параллельный перенос?

5. Сформулируйте «правило треугольника» и «правило параллелограмма». Приведите примеры.

6. Как определить разность векторов?

7. Как умножить вектор на число?

8. Какие векторы называются компланарными?

9. Сформулируйте «правило параллелепипеда» для трех некомпланарных векторов.

1. Что такое вектор и как его обозначают?

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Вектор характеризуется своим модулем (длиной) и направлением. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором ($\vec{0}$), его длина равна нулю, а направление не определено.

Векторы обозначают несколькими способами:

• Двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними. Первая буква обозначает начало вектора, вторая — его конец. Например, вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ обозначается как $\vec{AB}$.

• Одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней. Например, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

Длина (или модуль) вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$. Длина вектора $\vec{AB}$ обозначается как $|\vec{AB}|$.

Ответ: Вектор — это направленный отрезок, характеризующийся длиной и направлением. Обозначается двумя заглавными буквами с началом и концом ($\vec{AB}$) или одной строчной буквой ($\vec{a}$).

2. Какие векторы называются коллинеарными? Приведите примеры сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы бывают двух видов:

• Сонаправленные — это коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление. Их обозначают символом $\uparrow\uparrow$. Например, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

• Противоположно направленные — это коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления. Их обозначают символом $\uparrow\downarrow$. Например, $\vec{c} \uparrow\downarrow \vec{d}$.

Ответ: Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной или параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными (направлены в одну сторону) или противоположно направленными (направлены в разные стороны).

3. Какие векторы называются равными?

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины (модули) равны.

Таким образом, для равенства векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ необходимо выполнение двух условий:

1. Векторы должны быть сонаправлены: $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

2. Длины векторов должны быть равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Геометрически это означает, что один вектор можно получить из другого путем параллельного переноса, при котором их начала и концы совпадут.

Ответ: Равными называются векторы, которые сонаправлены и имеют одинаковую длину.

4. Какое преобразование называется параллельным переносом и как оно связано с вектором? Какими свойствами обладает параллельный перенос?

Параллельный перенос — это такое преобразование плоскости или пространства, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Параллельный перенос неразрывно связан с вектором. Он полностью задается вектором, который называется вектором переноса. Параллельный перенос на вектор $\vec{v}$ — это преобразование, которое переводит каждую точку $M$ в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору переноса $\vec{v}$ (то есть $\vec{MM'} = \vec{v}$).

Основные свойства параллельного переноса:

• Является движением, то есть сохраняет расстояние между точками. Следовательно, любая фигура переходит в равную ей фигуру.

• Прямая переходит в параллельную ей прямую или в саму себя (если она параллельна вектору переноса).

• Сохраняет ориентацию фигур (не переворачивает их, в отличие от осевой симметрии).

• У параллельного переноса на ненулевой вектор нет неподвижных точек.

Ответ: Параллельный перенос — это смещение всех точек на заданный вектор. Это движение, сохраняющее расстояния и направления, при котором прямые переходят в параллельные им прямые.

5. Сформулируйте «правило треугольника» и «правило параллелограмма». Приведите примеры.

Эти правила используются для нахождения суммы (результирующего вектора) двух векторов.

Правило треугольника: Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от конца вектора $\vec{a}$ отложить вектор $\vec{b}$. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ будет направлен от начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $\vec{b}$. Например, если векторы заданы точками $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$, то их сумма есть вектор $\vec{AC}$, то есть $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Правило параллелограмма: Чтобы сложить два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно отложить их от одной общей точки. Затем на этих векторах, как на сторонах, достраивают параллелограмм. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ совпадает с диагональю этого параллелограмма, выходящей из их общей начальной точки.

Ответ: Правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Правило параллелограмма: сумма векторов, отложенных из одной точки, равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах.

6. Как определить разность векторов?

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Обозначается: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$. Из определения следует, что $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Геометрически разность векторов можно найти двумя способами:

1. Свести вычитание к сложению с противоположным вектором. Вектор $-\vec{b}$ — это вектор, сонаправленный с $\vec{b}$, но направленный в противоположную сторону. Тогда $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Сумму находим по правилу треугольника или параллелограмма.

2. Отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей точки. Тогда вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ — это вектор, соединяющий конец вектора $\vec{b}$ (вычитаемого) с концом вектора $\vec{a}$ (уменьшаемого).

Ответ: Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ — это вектор, который нужно прибавить к вектору $\vec{b}$, чтобы получить вектор $\vec{a}$. Геометрически он направлен от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$ при их откладывании из одной точки.

7. Как умножить вектор на число?

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число (скаляр) $k \neq 0$ называется новый вектор, обозначаемый $k\vec{a}$, который удовлетворяет следующим условиям:

• Длина (модуль) нового вектора равна произведению модуля числа $k$ на длину исходного вектора: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

• Направление нового вектора совпадает с направлением вектора $\vec{a}$, если число $k$ положительно ($k > 0$), и противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если число $k$ отрицательно ($k < 0$).

Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, то их произведение $k\vec{a}$ равно нулевому вектору $\vec{0}$.

Ответ: Чтобы умножить вектор на число $k$, нужно его длину умножить на модуль числа $|k|$, сохранить направление, если $k>0$, или изменить на противоположное, если $k<0$.

8. Какие векторы называются компланарными?

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, при условии, что их начала совмещены в одной точке.

Важные следствия из определения:

• Любые два вектора всегда компланарны, так как через две пересекающиеся прямые, на которых они лежат (при совмещении начал), всегда можно провести единственную плоскость.

• Три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются компланарными тогда и только тогда, когда один из них можно выразить в виде линейной комбинации двух других (при условии, что они не коллинеарны). Например, существуют такие числа $x$ и $y$, что выполняется равенство $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Если три вектора некомпланарны, такое представление невозможно.

Ответ: Компланарные векторы — это векторы, которые после приведения к общему началу лежат в одной плоскости.

9. Сформулируйте «правило параллелепипеда» для трех некомпланарных векторов.

Правило параллелепипеда — это пространственное обобщение правила параллелограмма, которое используется для нахождения суммы трех некомпланарных векторов.

Формулировка правила: чтобы сложить три некомпланарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, нужно отложить их от одной общей точки $O$ и построить на них как на ребрах параллелепипед. Вектор суммы (результирующий вектор) $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ будет представлен главной диагональю этого параллелепипеда, проведенной из общей точки $O$ в противоположную вершину.

Ответ: Сумма трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, равна вектору, который является главной диагональю параллелепипеда, построенного на этих трех векторах как на ребрах.

Самостоятельно рассмотрите и докажите частные случаи теоремы: 1) вектор $\overrightarrow{OD}$ лежит на одной из плоскостей $(AOB)$, $(AOC)$, $(BOC)$; 2) вектор $\vec{d}$ коллинеарен одному из векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Практическая работа

1. Постройте два вектора:

a) равные по длине, но неколлинеарные;

б) равные по длине и сонаправленные;

в) равные по длине и противоположно направленные;

В каком из случаев (а), б) или в)) построенные векторы являются: 1) коллинеарными; 2) равными? Обоснуйте ответ.

2. Постройте векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($\vec{a} \neq \vec{b}$). Отметьте точку $O$ и постройте:

a) параллелограмм $OABC$

a) параллелограмм $OABC$ так, чтобы $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$;

б) куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ так, чтобы $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$. В построенном кубе укажите: 1) компланарные векторы, параллельные плоскости $(ABA_1B_1)$; 2) три некомпланарных вектора; 3) сумму векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{B_1C_1}$; 4) сумму векторов $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DD_1}$ и $\overrightarrow{A_1B_1}$; 5) разность векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{A_1D_1}$. Обоснуйте ответ.

1. Постройте два вектора:

Для наглядности построим векторы на плоскости.

а) равные по длине, но неколлинеарные;

На рисунке (а) построены векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Они имеют одинаковую длину, но не являются коллинеарными, так как лежат на пересекающихся прямых.

б) равные по длине и сонаправленные;

На рисунке (б) построены векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Они сонаправлены (оба направлены вправо и параллельны друг другу) и имеют одинаковую длину. Такие векторы по определению равны: $\vec{p} = \vec{q}$.

в) равные по длине и противоположно направленные;

На рисунке (в) построены векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Они имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Такие векторы называются противоположными: $\vec{x} = -\vec{y}$.

В каком из случаев (а), б) или в)) построенные векторы являются: 1) коллинеарными; 2) равными? Обоснуйте ответ.

1) Коллинеарными являются векторы в случаях б) и в).
Обоснование: Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В случае (б) векторы сонаправлены, а в случае (в) — противоположно направлены. В обоих случаях они по построению параллельны, а значит, коллинеарны. В случае (а) векторы лежат на пересекающихся прямых и не являются коллинеарными.

2) Равными являются векторы в случае б).
Обоснование: Равными называются векторы, которые сонаправлены и имеют одинаковую длину. Этим условиям удовлетворяют только векторы в случае (б). В случае (а) векторы не сонаправлены. В случае (в) векторы противоположно направлены.

Ответ: 1) Коллинеарны в случаях б) и в). 2) Равны в случае б).

2. Постройте векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($\vec{a} \nparallel \vec{b}$). Отметьте точку O и постройте:

а) параллелограмм OABC так, чтобы $\vec{OA}=\vec{a}$ и $\vec{OB}=\vec{b}$;

1. Отмечаем произвольную точку O.
2. От точки O откладываем вектор $\vec{a}$, получаем точку A. Таким образом, $\vec{OA} = \vec{a}$.
3. От точки O откладываем вектор $\vec{b}$, получаем точку B. Таким образом, $\vec{OB} = \vec{b}$.
4. Для построения параллелограмма OABC нужно найти вершину C. Вектор $\vec{AC}$ должен быть равен вектору $\vec{OB}$, а вектор $\vec{BC}$ должен быть равен вектору $\vec{OA}$. Положение точки C определяется векторным равенством $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b}$.
5. Соединяем точки, чтобы получить параллелограмм OABC.

Ответ: Построение выполнено и показано на рисунке.

б) куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ так, чтобы $\vec{AB}=\vec{a}$. В построенном кубе укажите:

1) три компланарные векторы, параллельные плоскости $(ABA_1B_1)$;

Векторы, параллельные плоскости $(ABA_1B_1)$ (плоскость передней грани куба), — это любые векторы, которые параллельны этой плоскости. Три таких компланарных вектора: $\vec{AB}$, $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{DC}$.
Обоснование: Векторы $\vec{AB}$, $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{DC}$ равны, так как они соответствуют параллельным и одинаково направленным ребрам куба. Равные (и, в частности, коллинеарные) векторы всегда компланарны. Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости $(ABA_1B_1)$, а векторы $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{DC}$ параллельны ему, следовательно, они все параллельны плоскости $(ABA_1B_1)$.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{DC}$.

2) три некомпланарных вектора;

Три некомпланарных вектора: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.
Обоснование: Эти векторы соответствуют трем ребрам куба, выходящим из одной вершины A. Они взаимно перпендикулярны. Если бы они были компланарны, то все три лежали бы в одной плоскости, и куб был бы плоской фигурой, что противоречит его определению. Эти три вектора образуют базис в трехмерном пространстве.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.

3) сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$;

Найдем сумму $\vec{AB} + \vec{BC_1}$. Для этого используем правило многоугольника для сложения векторов. Разложим вектор $\vec{BC_1}$ на составляющие: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.
Тогда сумма равна: $\vec{AB} + \vec{BC_1} = \vec{AB} + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CC_1}$.
По правилу сложения, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Подставляем обратно: $\vec{AC} + \vec{CC_1}$.
Снова по правилу сложения, $\vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1}$.
Таким образом, сумма равна вектору $\vec{AC_1}$, который является пространственной диагональю куба.

Ответ: $\vec{AB} + \vec{BC_1} = \vec{AC_1}$.

4) сумму векторов $\vec{AB}$, $\vec{DD_1}$ и $\vec{A_1B_1}$;

Найдем сумму $S = \vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{A_1B_1}$.
В кубе векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным ребрам, равны. Поэтому: $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$ и $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$.
Подставим эти равенства в исходное выражение: $S = \vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AB}$.
Сгруппировав, получим: $S = 2\vec{AB} + \vec{AA_1}$.

Ответ: $2\vec{AB} + \vec{AA_1}$.

5) разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{A_1D_1}$.

Найдем разность $\vec{AB} - \vec{A_1D_1}$.
В кубе $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$, так как они лежат на параллельных ребрах верхнего и нижнего оснований и сонаправлены.
Заменим $\vec{A_1D_1}$ на $\vec{AD}$ в выражении: $\vec{AB} - \vec{AD}$.
Разность двух векторов, отложенных от одной точки (в данном случае A), есть вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора (D) с концом уменьшаемого вектора (B). Таким образом, $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$.
Альтернативно: $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{AB} + (-\vec{AD}) = \vec{AB} + \vec{DA} = \vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$.

Ответ: $\vec{AB} - \vec{A_1D_1} = \vec{DB}$.