Страница 73 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.1. Дан прямоугольник ABCD, $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Выразите векторы $\vec{AC}$, $\vec{CA}$ и $\vec{BD}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Поскольку ABCD — это прямоугольник, его противолежащие стороны равны и параллельны. Это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам, равны. В частности, $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{DC} = \vec{AB}$.

По условию задачи даны векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Из свойств прямоугольника следует, что $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.

$\vec{AC}$
Для нахождения вектора диагонали $\vec{AC}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Вектор $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.Подставляя известные значения $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{b}$, получаем:$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.
Ответ: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.

$\vec{CA}$
Вектор $\vec{CA}$ является противоположным вектору $\vec{AC}$. Это значит, что он имеет ту же длину, но направлен в противоположную сторону. Математически это выражается как $\vec{CA} = -\vec{AC}$.Используя найденное выражение для $\vec{AC}$, получаем:$\vec{CA} = -(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{CA} = -\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{BD}$
Для нахождения вектора второй диагонали $\vec{BD}$ также используем правило сложения векторов. Путь из точки B в точку D можно представить как сумму векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$:$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$.Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, следовательно, $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$. Вектор $\vec{AD}$ дан по условию: $\vec{AD} = \vec{b}$.Подставляя эти значения, получаем:$\vec{BD} = -\vec{a} + \vec{b}$ или, в другом порядке, $\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}$.

3.2. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.12) укажите все векторы, равные вектору:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$, $\vec{DD_1}$;

2) $\vec{A_1B}$.

Для решения задачи воспользуемся определением равных векторов и свойствами параллелепипеда. Равные векторы — это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину. В параллелепипеде рёбра, принадлежащие параллельным прямым, равны по длине.

1) В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются параллелограммами, а противоположные грани параллельны и равны. Это означает, что векторы, соответствующие параллельным рёбрам одинаковой направленности, равны.

• Для вектора $\vec{AB}$, который является ребром нижнего основания, равными будут векторы, соответствующие параллельным ему рёбрам с тем же направлением. В нижнем основании это вектор $\vec{DC}$ (так как $ABCD$ — параллелограмм). В верхнем основании, которое параллельно и равно нижнему, это вектор $\vec{A_1B_1}$ и, соответственно, вектор $\vec{D_1C_1}$. Таким образом, векторы, равные $\vec{AB}$, это: $\vec{DC}, \vec{A_1B_1}, \vec{D_1C_1}$.

• Для вектора $\vec{B_1C_1}$, который является ребром верхнего основания, равными будут векторы $\vec{A_1D_1}$ (в той же грани $A_1B_1C_1D_1$), $\vec{BC}$ (в параллельной грани $ABCD$) и $\vec{AD}$ (также в грани $ABCD$). Таким образом, векторы, равные $\vec{B_1C_1}$, это: $\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1D_1}$.

• Для вектора $\vec{DD_1}$, который является боковым ребром, равными будут векторы, соответствующие другим боковым рёбрам, направленные от нижнего основания к верхнему. Это векторы $\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}$.

Ответ: Векторы, равные вектору $\vec{AB}$: $\vec{DC}, \vec{A_1B_1}, \vec{D_1C_1}$.
Векторы, равные вектору $\vec{B_1C_1}$: $\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1D_1}$.
Векторы, равные вектору $\vec{DD_1}$: $\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}$.

2) Вектор $\vec{A_1B}$ является диагональю боковой грани $AA_1B_1B$. Чтобы найти равный ему вектор, нужно рассмотреть противоположную грань $DD_1C_1C$. Эта грань является параллельным переносом грани $AA_1B_1B$. При таком переносе точка $A_1$ переходит в точку $D_1$, а точка $B$ — в точку $C$. Следовательно, вектор $\vec{A_1B}$ переходит в вектор $\vec{D_1C}$. Эти векторы равны, так как они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Других векторов, равных $\vec{A_1B}$, в параллелепипеде нет.

Ответ: $\vec{D_1C}$.

3.3. В предыдущей задаче найдите:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$;

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$;

3) $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AC}$;

4) $\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AC}$.

Для решения задачи предположим, что в предыдущей задаче речь шла о параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторные операции будем выполнять, основываясь на свойствах этой фигуры, изображенной ниже.

1) Для сложения векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ воспользуемся правилом треугольника (правилом Шаля). Так как начало вектора $\overrightarrow{BC}$ совпадает с концом вектора $\overrightarrow{AB}$, их сумма равна вектору, начало которого совпадает с началом вектора $\overrightarrow{AB}$ (точка $A$), а конец — с концом вектора $\overrightarrow{BC}$ (точка $C$). Таким образом, получаем: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Этот вектор является диагональю основания параллелепипеда.
Ответ: $\overrightarrow{AC}$

2) Вычитание векторов $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ можно представить как сложение с противоположным вектором: $\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AD})$. Вектор $-\overrightarrow{AD}$ равен вектору $\overrightarrow{DA}$. Тогда выражение принимает вид: $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$. По правилу треугольника, так как начало второго вектора совпадает с концом первого, их сумма равна вектору, идущему из начала первого в конец второго, то есть $\overrightarrow{DB}$. Также можно использовать правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: разностью векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ является вектор, соединяющий их концы и направленный от конца вычитаемого ($D$) к концу уменьшаемого ($B$), то есть вектор $\overrightarrow{DB}$. Этот вектор является второй диагональю основания.
Ответ: $\overrightarrow{DB}$

3) Векторы $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AC}$ выходят из одной точки $A$. Для их сложения можно было бы использовать правило параллелограмма. Однако удобнее воспользоваться свойством параллелепипеда, согласно которому вектор $\overrightarrow{AC}$ равен вектору $\overrightarrow{A_1C_1}$ (поскольку верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$ является результатом параллельного переноса нижнего основания $ABCD$). Подставим это в сумму: $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1C_1}$. Теперь по правилу треугольника (правилу Шаля) получаем: $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC_1}$. Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ — это пространственная (главная) диагональ параллелепипеда.
Ответ: $\overrightarrow{AC_1}$

4) Для вычитания векторов $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AC}$, выходящих из одной точки, применяется правило: результатом является вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора (точка $C$) с концом уменьшаемого вектора (точка $A_1$). Таким образом, $\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA_1}$. Для проверки можно убедиться, что $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{AA_1}$, что соответствует правилу треугольника.
Ответ: $\overrightarrow{CA_1}$

3.4. Дана треугольная пирамида ABCD и точки P, Q, R, T, являющиеся серединами сторон AB, BC, CD, AD соответственно. Найдите модули векторов $\vec{PQ}$, $\vec{QR}$, $\vec{RT}$ и $\vec{TP}$, если $AC = 8$ см, $BD = 6$ см (рис. 3.14).

Рис. 3.14

Для решения задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника в векторной форме. Пусть вершины пирамиды заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Тогда радиус-векторы точек P, Q, R, T будут:

• P (середина AB): $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
• Q (середина BC): $\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
• R (середина CD): $\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$
• T (середина AD): $\vec{t} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

Ниже представлен рисунок к задаче:

Теперь найдем модули искомых векторов.

Модуль вектора $\vec{PQ}$

Вектор $\vec{PQ}$ можно выразить как разность радиус-векторов его конца и начала: $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p}$.
Подставим выражения для $\vec{p}$ и $\vec{q}$:
$\vec{PQ} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.
Это означает, что отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$. Модуль вектора $\vec{PQ}$ равен его длине, которая составляет половину длины стороны $AC$.
$|\vec{PQ}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}| = \frac{1}{2}AC$.
По условию $AC = 8$ см, следовательно:
$|\vec{PQ}| = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Ответ: 4 см.

Модуль вектора $\vec{QR}$

Аналогично найдем вектор $\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q}$.
$\vec{QR} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d} - \vec{b} - \vec{c}}{2} = \frac{\vec{d} - \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
Отрезок $QR$ является средней линией треугольника $BCD$. Его длина равна половине длины стороны $BD$.
$|\vec{QR}| = |\frac{1}{2}\vec{BD}| = \frac{1}{2}|\vec{BD}| = \frac{1}{2}BD$.
По условию $BD = 6$ см, следовательно:
$|\vec{QR}| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Ответ: 3 см.

Модуль вектора $\vec{RT}$

Найдем вектор $\vec{RT} = \vec{t} - \vec{r}$.
$\vec{RT} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{d} - \vec{c} - \vec{d}}{2} = \frac{\vec{a} - \vec{c}}{2} = -\frac{\vec{c} - \vec{a}}{2} = -\frac{1}{2}\vec{AC}$.
Отрезок $RT$ является средней линией треугольника $ACD$. Его длина равна половине длины стороны $AC$.
$|\vec{RT}| = |-\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}| = \frac{1}{2}AC$.
По условию $AC = 8$ см, следовательно:
$|\vec{RT}| = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Ответ: 4 см.

Модуль вектора $\vec{TP}$

Найдем вектор $\vec{TP} = \vec{p} - \vec{t}$.
$\vec{TP} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - \vec{a} - \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} - \vec{d}}{2} = -\frac{\vec{d} - \vec{b}}{2} = -\frac{1}{2}\vec{BD}$.
Отрезок $TP$ является средней линией треугольника $ABD$. Его длина равна половине длины стороны $BD$.
$|\vec{TP}| = |-\frac{1}{2}\vec{BD}| = \frac{1}{2}|\vec{BD}| = \frac{1}{2}BD$.
По условию $BD = 6$ см, следовательно:
$|\vec{TP}| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Ответ: 3 см.

3.5. Даны единичный вектор $\vec{e}$, $(\left| \vec{e} \right|=1)$ и вектор $\vec{a}$. Выразите вектор $\vec{a}$ через $\vec{e}$, если:

1) $\left| \vec{a} \right|=3, \vec{a} \uparrow \uparrow \vec{e}$;

2) $\left| \vec{a} \right|=\frac{1}{2}, \vec{a} \uparrow \downarrow \vec{e}$;

3) $\left| \vec{a} \right|=1,4, \vec{a} \uparrow \downarrow \vec{e}$;

4) $\left| \vec{a} \right|=0,6, \vec{a} \uparrow \uparrow \vec{e}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{a}$ через единичный вектор $\vec{e}$, необходимо определить скалярный множитель, связывающий эти два вектора. Этот множитель зависит от модуля вектора $\vec{a}$ и их взаимного направления.

Любой вектор можно представить как произведение его модуля (длины) на его единичный вектор (орт). Формула: $\vec{v} = |\vec{v}| \cdot \vec{v}_0$, где $\vec{v}_0$ — единичный вектор, сонаправленный с $\vec{v}$.

В задаче дано, что $|\vec{e}| = 1$.

• Если вектор $\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{e}$ (обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{e}$), то их орты совпадают: $\vec{a}_0 = \vec{e}$. Тогда вектор $\vec{a}$ выражается как $\vec{a} = |\vec{a}| \cdot \vec{e}$.
• Если вектор $\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{e}$ (обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{e}$), то их орты противоположны: $\vec{a}_0 = -\vec{e}$. Тогда вектор $\vec{a}$ выражается как $\vec{a} = |\vec{a}| \cdot (-\vec{e}) = -|\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Применим эти правила для решения каждого пункта.

1) Дано: $|\vec{a}|=3$, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{e}$.

Так как векторы сонаправлены, используем формулу $\vec{a} = |\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Подставляем значение модуля $|\vec{a}| = 3$ в формулу:

$\vec{a} = 3\vec{e}$.

Ответ: $\vec{a} = 3\vec{e}$.

2) Дано: $|\vec{a}|=\frac{1}{2}$, $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{e}$.

Так как векторы противоположно направлены, используем формулу $\vec{a} = -|\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Подставляем значение модуля $|\vec{a}| = \frac{1}{2}$ в формулу:

$\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{e}$.

Ответ: $\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{e}$.

3) Дано: $|\vec{a}|=1,4$, $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{e}$.

Так как векторы противоположно направлены, используем формулу $\vec{a} = -|\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Подставляем значение модуля $|\vec{a}| = 1,4$ в формулу:

$\vec{a} = -1,4\vec{e}$.

Ответ: $\vec{a} = -1,4\vec{e}$.

4) Дано: $|\vec{a}|=0,6$, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{e}$.

Так как векторы сонаправлены, используем формулу $\vec{a} = |\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Подставляем значение модуля $|\vec{a}| = 0,6$ в формулу:

$\vec{a} = 0,6\vec{e}$.

Ответ: $\vec{a} = 0,6\vec{e}$.

3.6. В параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ укажите:

1) сонаправленные векторы;

2) векторы, противоположно направленные векторам $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ (рис. 3.12).

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В параллелепипеде противоположные грани являются параллельными и равными параллелограммами. Это означает, что ребра, образующие эти грани, попарно параллельны и равны по длине. Векторы, лежащие на таких ребрах, будут либо сонаправленными (и равными), либо противоположно направленными.

1) сонаправленные векторы

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, лежащие на параллельных и одинаково ориентированных рёбрах, являются сонаправленными.
Для вектора $\vec{AB}$ сонаправленными являются векторы $\vec{DC}$ (так как $ABCD$ — параллелограмм), $\vec{A_1B_1}$ (поскольку вектор $\vec{AB}$ переносится в $\vec{A_1B_1}$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AA_1}$) и $\vec{D_1C_1}$ (так как $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм).
Для вектора $\vec{AD}$ по той же логике сонаправленными являются векторы $\vec{BC}$, $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{B_1C_1}$.
Для вектора $\vec{AA_1}$ сонаправленными являются векторы, соответствующие другим боковым ребрам: $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$.

Ответ:
Сонаправленные вектору $\vec{AB}$: $\vec{DC}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{D_1C_1}$.
Сонаправленные вектору $\vec{AD}$: $\vec{BC}$, $\vec{A_1D_1}$, $\vec{B_1C_1}$.
Сонаправленные вектору $\vec{AA_1}$: $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{DD_1}$.

2) векторы, противоположно направленные векторам $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, которые направлены в противоположные стороны. Для вектора $\vec{XY}$ противоположным является вектор $\vec{YX}$.
Для вектора $\vec{AB}$ противоположно направленными являются вектор $\vec{BA}$, а также векторы, противоположные сонаправленным с $\vec{AB}$: $\vec{CD}$, $\vec{B_1A_1}$ и $\vec{C_1D_1}$.
Для вектора $\vec{AD}$ противоположно направленными являются $\vec{DA}$, $\vec{CB}$, $\vec{D_1A_1}$ и $\vec{C_1B_1}$.
Для вектора $\vec{AA_1}$ противоположно направленными являются $\vec{A_1A}$, $\vec{B_1B}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{D_1D}$.

Ответ:
Противоположно направленные вектору $\vec{AB}$: $\vec{BA}$, $\vec{CD}$, $\vec{B_1A_1}$, $\vec{C_1D_1}$.
Противоположно направленные вектору $\vec{AD}$: $\vec{DA}$, $\vec{CB}$, $\vec{D_1A_1}$, $\vec{C_1B_1}$.
Противоположно направленные вектору $\vec{AA_1}$: $\vec{A_1A}$, $\vec{B_1B}$, $\vec{C_1C}$, $\vec{D_1D}$.