Номер 3.2, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.12) укажите все векторы, равные вектору:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$, $\vec{DD_1}$;

2) $\vec{A_1B}$.

Для решения задачи воспользуемся определением равных векторов и свойствами параллелепипеда. Равные векторы — это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину. В параллелепипеде рёбра, принадлежащие параллельным прямым, равны по длине.

1) В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются параллелограммами, а противоположные грани параллельны и равны. Это означает, что векторы, соответствующие параллельным рёбрам одинаковой направленности, равны.

• Для вектора $\vec{AB}$, который является ребром нижнего основания, равными будут векторы, соответствующие параллельным ему рёбрам с тем же направлением. В нижнем основании это вектор $\vec{DC}$ (так как $ABCD$ — параллелограмм). В верхнем основании, которое параллельно и равно нижнему, это вектор $\vec{A_1B_1}$ и, соответственно, вектор $\vec{D_1C_1}$. Таким образом, векторы, равные $\vec{AB}$, это: $\vec{DC}, \vec{A_1B_1}, \vec{D_1C_1}$.

• Для вектора $\vec{B_1C_1}$, который является ребром верхнего основания, равными будут векторы $\vec{A_1D_1}$ (в той же грани $A_1B_1C_1D_1$), $\vec{BC}$ (в параллельной грани $ABCD$) и $\vec{AD}$ (также в грани $ABCD$). Таким образом, векторы, равные $\vec{B_1C_1}$, это: $\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1D_1}$.

• Для вектора $\vec{DD_1}$, который является боковым ребром, равными будут векторы, соответствующие другим боковым рёбрам, направленные от нижнего основания к верхнему. Это векторы $\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}$.

Ответ: Векторы, равные вектору $\vec{AB}$: $\vec{DC}, \vec{A_1B_1}, \vec{D_1C_1}$.
Векторы, равные вектору $\vec{B_1C_1}$: $\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1D_1}$.
Векторы, равные вектору $\vec{DD_1}$: $\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}$.

2) Вектор $\vec{A_1B}$ является диагональю боковой грани $AA_1B_1B$. Чтобы найти равный ему вектор, нужно рассмотреть противоположную грань $DD_1C_1C$. Эта грань является параллельным переносом грани $AA_1B_1B$. При таком переносе точка $A_1$ переходит в точку $D_1$, а точка $B$ — в точку $C$. Следовательно, вектор $\vec{A_1B}$ переходит в вектор $\vec{D_1C}$. Эти векторы равны, так как они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Других векторов, равных $\vec{A_1B}$, в параллелепипеде нет.

Ответ: $\vec{D_1C}$.