Номер 3.4, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.4. Дана треугольная пирамида ABCD и точки P, Q, R, T, являющиеся серединами сторон AB, BC, CD, AD соответственно. Найдите модули векторов $\vec{PQ}$, $\vec{QR}$, $\vec{RT}$ и $\vec{TP}$, если $AC = 8$ см, $BD = 6$ см (рис. 3.14).

Рис. 3.14

Для решения задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника в векторной форме. Пусть вершины пирамиды заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Тогда радиус-векторы точек P, Q, R, T будут:

• P (середина AB): $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
• Q (середина BC): $\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
• R (середина CD): $\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$
• T (середина AD): $\vec{t} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

Ниже представлен рисунок к задаче:

Теперь найдем модули искомых векторов.

Модуль вектора $\vec{PQ}$

Вектор $\vec{PQ}$ можно выразить как разность радиус-векторов его конца и начала: $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p}$.
Подставим выражения для $\vec{p}$ и $\vec{q}$:
$\vec{PQ} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.
Это означает, что отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$. Модуль вектора $\vec{PQ}$ равен его длине, которая составляет половину длины стороны $AC$.
$|\vec{PQ}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}| = \frac{1}{2}AC$.
По условию $AC = 8$ см, следовательно:
$|\vec{PQ}| = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Ответ: 4 см.

Модуль вектора $\vec{QR}$

Аналогично найдем вектор $\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q}$.
$\vec{QR} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d} - \vec{b} - \vec{c}}{2} = \frac{\vec{d} - \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
Отрезок $QR$ является средней линией треугольника $BCD$. Его длина равна половине длины стороны $BD$.
$|\vec{QR}| = |\frac{1}{2}\vec{BD}| = \frac{1}{2}|\vec{BD}| = \frac{1}{2}BD$.
По условию $BD = 6$ см, следовательно:
$|\vec{QR}| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Ответ: 3 см.

Модуль вектора $\vec{RT}$

Найдем вектор $\vec{RT} = \vec{t} - \vec{r}$.
$\vec{RT} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{d} - \vec{c} - \vec{d}}{2} = \frac{\vec{a} - \vec{c}}{2} = -\frac{\vec{c} - \vec{a}}{2} = -\frac{1}{2}\vec{AC}$.
Отрезок $RT$ является средней линией треугольника $ACD$. Его длина равна половине длины стороны $AC$.
$|\vec{RT}| = |-\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}| = \frac{1}{2}AC$.
По условию $AC = 8$ см, следовательно:
$|\vec{RT}| = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Ответ: 4 см.

Модуль вектора $\vec{TP}$

Найдем вектор $\vec{TP} = \vec{p} - \vec{t}$.
$\vec{TP} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - \vec{a} - \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} - \vec{d}}{2} = -\frac{\vec{d} - \vec{b}}{2} = -\frac{1}{2}\vec{BD}$.
Отрезок $TP$ является средней линией треугольника $ABD$. Его длина равна половине длины стороны $BD$.
$|\vec{TP}| = |-\frac{1}{2}\vec{BD}| = \frac{1}{2}|\vec{BD}| = \frac{1}{2}BD$.
По условию $BD = 6$ см, следовательно:
$|\vec{TP}| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Ответ: 3 см.