Номер 3.11, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.11. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны и лежат в параллельных плоскостях. Существует ли параллельный перенос, отображающий треугольник $ABC$ в треугольник $A_1B_1C_1$? Обоснуйте ответ.

Нет, такой параллельный перенос существует не всегда. Обоснуем этот вывод.

Параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называется преобразование пространства, при котором любая точка $M$ переходит в такую точку $M_1$, что $\vec{MM_1} = \vec{a}$.

Для того чтобы параллельный перенос отображал треугольник $ABC$ в треугольник $A_1B_1C_1$, необходимо, чтобы вершины одного треугольника переходили в соответствующие вершины другого. Это означает, что должен существовать такой вектор $\vec{a}$, для которого одновременно выполняются следующие равенства:

$\vec{AA_1} = \vec{a}$

$\vec{BB_1} = \vec{a}$

$\vec{CC_1} = \vec{a}$

Из этих равенств следует, что необходимым и достаточным условием существования такого параллельного переноса является равенство векторов, соединяющих соответствующие вершины: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Однако, условие, что треугольники равны и лежат в параллельных плоскостях, не гарантирует выполнения этого равенства векторов. Треугольники могут быть по-разному ориентированы друг относительно друга в своих плоскостях.

Например, один треугольник может быть повернут относительно другого. Рассмотрим такой случай. Пусть треугольник $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. В параллельной ей плоскости $\beta$ лежит равный ему треугольник $A_1B_1C_1$, но он повернут относительно положения, которое бы он занимал при "чистом" параллельном переносе.

Эта ситуация проиллюстрирована на рисунке ниже. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны и лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. Однако треугольник $A_1B_1C_1$ повернут.

Как видно из рисунка, векторы, соединяющие соответствующие вершины ($\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$), не равны друг другу (они имеют разные направления и длины). Следовательно, не существует единого вектора переноса $\vec{a}$, который бы одновременно переводил $A$ в $A_1$, $B$ в $B_1$ и $C$ в $C_1$.

Таким образом, хотя треугольники равны и лежат в параллельных плоскостях, их взаимное расположение может не допускать существования параллельного переноса, отображающего один треугольник на другой. Такое отображение возможно только в частном случае, когда $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Ответ: Нет, не существует. Параллельный перенос, отображающий треугольник $ABC$ в треугольник $A_1B_1C_1$, существует только в том случае, если векторы, соединяющие их соответствующие вершины, равны ($\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$). Условия задачи (равенство треугольников и параллельность плоскостей, в которых они лежат) не гарантируют выполнение этого условия.