Номер 3.16, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.16. Дана треугольная пирамида ABCD. Найдите сумму:

1) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$;

2) $\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB} + \vec{AB}$.

Для решения этой задачи используется правило сложения векторов, известное как правило треугольника или правило Шаля. Оно гласит, что для любых трех точек $P$, $Q$ и $R$ в пространстве справедливо равенство $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$. Иными словами, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго.

1) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$

Применим правило сложения векторов последовательно. Сначала сложим первые два вектора, $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Конец вектора $\vec{AB}$ (точка $B$) совпадает с началом вектора $\vec{BC}$ (точка $B$). Следовательно, их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка $A$) с концом второго (точка $C$).

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD}$

Снова применим правило сложения для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$. Конец вектора $\vec{AC}$ (точка $C$) совпадает с началом вектора $\vec{CD}$ (точка $C$). Их сумма — это вектор, идущий из точки $A$ в точку $D$.

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Таким образом, итоговая сумма равна $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{AD}$

2) $\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB} + \vec{AB}$

Будем складывать векторы последовательно, используя то же правило.

Сначала сложим первые два вектора $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

После этого выражение примет вид:

$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DB} + \vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB} + \vec{AB}$

Теперь сложим результат с третьим вектором $\vec{DB}$:

$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$

Подставим полученный вектор $\vec{AB}$ обратно в выражение:

$(\vec{AD} + \vec{DB}) + \vec{AB} = \vec{AB} + \vec{AB}$

Сумма двух одинаковых векторов равна удвоенному вектору:

$\vec{AB} + \vec{AB} = 2\vec{AB}$

Следовательно, искомая сумма равна $2\vec{AB}$.

Ответ: $2\vec{AB}$