Номер 3.20, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.20. В треугольной пирамиде $ABCD$ точка $E$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AE:EB=3:1$. Выразите векторы $\vec{BD}, \vec{BC}, \vec{CD}, \vec{ED}$ и $\vec{EC}$ через векторы $\vec{a}=\vec{AE}, \vec{b}=\vec{AC}, \vec{c}=\vec{AD}$.

Для решения задачи нам даны векторы $\vec{a} = \vec{AE}$, $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AD}$. Точка $A$ является общим началом для всех трех базисных векторов, поэтому удобно выражать все искомые векторы через векторы, исходящие из точки $A$.

По условию, точка $E$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AE:EB = 3:1$. Это означает, что векторы $\vec{AE}$ и $\vec{EB}$ сонаправлены, а длина вектора $\vec{AE}$ в три раза больше длины вектора $\vec{EB}$. Следовательно, мы можем записать векторное равенство: $\vec{AE} = 3\vec{EB}$.

Отсюда можно выразить вектор $\vec{EB}$ через $\vec{a}$:

$\vec{EB} = \frac{1}{3}\vec{AE} = \frac{1}{3}\vec{a}$

Теперь найдем вектор $\vec{AB}$, который понадобится для дальнейших вычислений. Вектор $\vec{AB}$ является суммой векторов $\vec{AE}$ и $\vec{EB}$:

$\vec{AB} = \vec{AE} + \vec{EB} = \vec{a} + \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{4}{3}\vec{a}$

Теперь, имея выражения для векторов $\vec{AE}$, $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ через базисные векторы, мы можем найти все требуемые векторы.

$\vec{BD}$

Чтобы выразить вектор $\vec{BD}$, используем правило разности векторов (правило треугольника), представив его как разность векторов с общим началом в точке A: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AD} = \vec{c}$ и $\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{a}$.

$\vec{BD} = \vec{c} - \frac{4}{3}\vec{a}$

Ответ: $\vec{BD} = \vec{c} - \frac{4}{3}\vec{a}$

$\vec{BC}$

Аналогично, для вектора $\vec{BC}$ применяем правило разности векторов с общим началом в точке A: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AC} = \vec{b}$ и $\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{a}$.

$\vec{BC} = \vec{b} - \frac{4}{3}\vec{a}$

Ответ: $\vec{BC} = \vec{b} - \frac{4}{3}\vec{a}$

$\vec{CD}$

Для вектора $\vec{CD}$ также используем правило разности с началом в точке A: $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AD} = \vec{c}$ и $\vec{AC} = \vec{b}$.

$\vec{CD} = \vec{c} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{CD} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{ED}$

Для вектора $\vec{ED}$ используем правило разности векторов с общим началом в точке A: $\vec{ED} = \vec{AD} - \vec{AE}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AD} = \vec{c}$ и $\vec{AE} = \vec{a}$.

$\vec{ED} = \vec{c} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{ED} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{EC}$

Для вектора $\vec{EC}$ применяем то же правило: $\vec{EC} = \vec{AC} - \vec{AE}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AC} = \vec{b}$ и $\vec{AE} = \vec{a}$.

$\vec{EC} = \vec{b} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{EC} = \vec{b} - \vec{a}$