Номер 3.24, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.24. Дан параллелограмм $ABCD$ и $O$ – произвольная точка пространства. Докажите, что $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$.

Для доказательства данного векторного равенства можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Использование свойства диагоналей параллелограмма

Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$. Согласно свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $M$ является серединой как отрезка $AC$, так и отрезка $BD$.

Пусть $O$ — произвольная точка пространства. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Применим это правило к диагоналям $AC$ и $BD$.

Поскольку $M$ — середина диагонали $AC$, ее радиус-вектор $\vec{OM}$ можно выразить следующим образом:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

Аналогично, поскольку $M$ — середина диагонали $BD$, ее радиус-вектор $\vec{OM}$ можно выразить и так:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Так как левые части этих равенств равны (это один и тот же вектор $\vec{OM}$), мы можем приравнять их правые части:

$\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Умножив обе части равенства на 2, получаем требуемое равенство:

$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$

Что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование векторного равенства сторон параллелограмма

По определению параллелограмма $ABCD$, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. В векторной форме это означает, что векторы, представляющие противоположные стороны, равны. Например, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ через радиус-векторы их начал и концов относительно произвольной точки $O$, используя правило вычитания векторов ($\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$):

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD}$

Подставим эти выражения в равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$:

$\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$

Теперь перегруппируем слагаемые, чтобы получить равенство из условия задачи. Перенесем вектор $\vec{OA}$ в правую часть, а вектор $\vec{OD}$ в левую часть:

$\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OC}$

Данное равенство идентично тому, что требовалось доказать.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$ доказано.