Номер 3.27, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.27. В пространстве даны два параллелограмма $ABCD$ и $A_1 B_1 C_1 D_1$. Докажите, что середины отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ являются вершинами параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольное начало отсчета O и обозначим радиус-векторы вершин параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ и $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}, \vec{d_1}$ соответственно.

Из определения параллелограмма следует, что сумма радиус-векторов его противолежащих вершин равна. Это свойство можно записать в виде равенства середин диагоналей: $\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} = \frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$, что эквивалентно $\vec{a}+\vec{c} = \vec{b}+\vec{d}$.

Таким образом, для параллелограмма $ABCD$ справедливо равенство:
$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ (1)

Аналогично для параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ справедливо равенство:
$\vec{a_1} + \vec{c_1} = \vec{b_1} + \vec{d_1}$ (2)

Пусть точки $K, L, M, N$ — середины отрезков $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ соответственно. Найдем их радиус-векторы, используя формулу середины отрезка:
Радиус-вектор точки $K$: $\vec{k} = \frac{\vec{a} + \vec{a_1}}{2}$
Радиус-вектор точки $L$: $\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{b_1}}{2}$
Радиус-вектор точки $M$: $\vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{c_1}}{2}$
Радиус-вектор точки $N$: $\vec{n} = \frac{\vec{d} + \vec{d_1}}{2}$

Чтобы доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом, достаточно показать, что середины его диагоналей $KM$ и $LN$ совпадают. Это эквивалентно выполнению векторного равенства $\vec{k} + \vec{m} = \vec{l} + \vec{n}$.

Рассмотрим сумму радиус-векторов вершин $K$ и $M$:
$\vec{k} + \vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{a_1}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{c_1}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c} + \vec{a_1} + \vec{c_1})$

Теперь рассмотрим сумму радиус-векторов вершин $L$ и $N$:
$\vec{l} + \vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{b_1}}{2} + \frac{\vec{d} + \vec{d_1}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} + \vec{b_1} + \vec{d_1})$

Сложим почленно равенства (1) и (2), которые являются свойствами исходных параллелограммов:
$(\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{a_1} + \vec{c_1}) = (\vec{b} + \vec{d}) + (\vec{b_1} + \vec{d_1})$

Из этого следует, что выражения для сумм $\vec{k} + \vec{m}$ и $\vec{l} + \vec{n}$ равны:
$\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c} + \vec{a_1} + \vec{c_1}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} + \vec{b_1} + \vec{d_1})$
Следовательно, $\vec{k} + \vec{m} = \vec{l} + \vec{n}$.

Так как суммы радиус-векторов противоположных вершин четырехугольника $KLMN$ равны, то этот четырехугольник является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.