Номер 3.21, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.21. Пусть $\vec{x}$, $\vec{y}$, и $\vec{z}$ -- некомпланарные векторы. Выясните, коллинеарны ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) $\vec{a}=\vec{x}-2\sqrt{3}\vec{y}$, $\vec{b}=\sqrt{3}\vec{x}-6\vec{y}$;

2) $\vec{a}=2\vec{x}+\vec{y}$, $\vec{b}=\vec{x}+6\vec{y}$;

3) $\vec{a}=\vec{x}-2\sqrt{2}\vec{y}+\sqrt{6}\vec{z}$, $\vec{b}=\sqrt{2}\vec{x}-4\vec{y}+2\sqrt{3}\vec{z}$;

4) $\vec{a}=\sqrt{5}\cdot\vec{y}$, $\vec{b}=\sqrt{5}\vec{z}$.

1) Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. В данном случае имеем $\vec{a} = \vec{x} - 2\sqrt{3}\vec{y}$ и $\vec{b} = \sqrt{3}\vec{x} - 6\vec{y}$. Проверим, существует ли такое $k$, что $\vec{x} - 2\sqrt{3}\vec{y} = k(\sqrt{3}\vec{x} - 6\vec{y})$. Раскроем скобки: $\vec{x} - 2\sqrt{3}\vec{y} = k\sqrt{3}\vec{x} - 6k\vec{y}$. Поскольку векторы $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ некомпланарны, то векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ линейно независимы. Это означает, что равенство возможно только тогда, когда коэффициенты при соответствующих векторах равны. Составим систему уравнений: $ \begin{cases} 1 = k\sqrt{3} \\ -2\sqrt{3} = -6k \end{cases} $ Из первого уравнения находим $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим это значение во второе уравнение, чтобы проверить его истинность: $-6 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -\frac{6\sqrt{3}}{3} = -2\sqrt{3}$. Так как $-2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$, второе уравнение выполняется. Поскольку мы нашли такое число $k$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Ответ: коллинеарны.

2) Даны векторы $\vec{a} = 2\vec{x} + \vec{y}$ и $\vec{b} = \vec{x} + 6\vec{y}$. Проверим условие коллинеарности $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$: $2\vec{x} + \vec{y} = k(\vec{x} + 6\vec{y})$ $2\vec{x} + \vec{y} = k\vec{x} + 6k\vec{y}$ Так как векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ линейно независимы, приравняем коэффициенты при них: $ \begin{cases} 2 = k \\ 1 = 6k \end{cases} $ Из первого уравнения получаем $k = 2$. Из второго уравнения получаем $k = \frac{1}{6}$. Поскольку $2 \neq \frac{1}{6}$, не существует единого значения $k$, удовлетворяющего обоим уравнениям. Следовательно, векторы не коллинеарны.
Ответ: не коллинеарны.

3) Даны векторы $\vec{a} = \vec{x} - 2\sqrt{2}\vec{y} + \sqrt{6}\vec{z}$ и $\vec{b} = \sqrt{2}\vec{x} - 4\vec{y} + 2\sqrt{3}\vec{z}$. Проверим условие коллинеарности $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$: $\vec{x} - 2\sqrt{2}\vec{y} + \sqrt{6}\vec{z} = k(\sqrt{2}\vec{x} - 4\vec{y} + 2\sqrt{3}\vec{z})$ $\vec{x} - 2\sqrt{2}\vec{y} + \sqrt{6}\vec{z} = k\sqrt{2}\vec{x} - 4k\vec{y} + 2k\sqrt{3}\vec{z}$ Поскольку векторы $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ некомпланарны, они линейно независимы. Приравниваем коэффициенты при соответствующих векторах: $ \begin{cases} 1 = k\sqrt{2} \\ -2\sqrt{2} = -4k \\ \sqrt{6} = 2k\sqrt{3} \end{cases} $ Из первого уравнения: $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Из второго уравнения: $k = \frac{-2\sqrt{2}}{-4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Из третьего уравнения: $k = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Все три уравнения дают одно и то же значение $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Следовательно, такое число $k$ существует. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Ответ: коллинеарны.

4) Даны векторы $\vec{a} = \sqrt{5}\vec{y}$ и $\vec{b} = \sqrt{5}\vec{z}$. Проверим условие коллинеарности $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$: $\sqrt{5}\vec{y} = k(\sqrt{5}\vec{z})$ Для наглядности распишем разложение по всем трем базисным векторам: $0\vec{x} + \sqrt{5}\vec{y} + 0\vec{z} = 0\vec{x} + 0\vec{y} + k\sqrt{5}\vec{z}$ Приравниваем коэффициенты при линейно независимых векторах $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$: $ \begin{cases} 0 = 0 \\ \sqrt{5} = 0 \\ 0 = k\sqrt{5} \end{cases} $ Второе уравнение системы, $\sqrt{5} = 0$, является ложным. Это означает, что система не имеет решений, и не существует такого числа $k$, при котором выполнялось бы равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Следовательно, векторы не коллинеарны.
Ответ: не коллинеарны.