Номер 3.14, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.14. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. При каких условиях векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны?

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это означает, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр). То есть, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{c} = k\vec{d}$. Также, по определению, нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Пусть даны векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$.Условие их коллинеарности означает, что либо один из них является нулевым вектором, либо существует такое число $k$, что выполняется равенство:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

Рассмотрим сначала случаи, когда один из векторов равен нулю.
Если $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$, то $\vec{a} = \vec{b}$. В этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. При этом рассматриваемые векторы превращаются в $2\vec{a}$ и $\vec{0}$, которые коллинеарны по определению.
Если $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$, то $\vec{b} = -\vec{a}$. В этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также коллинеарны. Рассматриваемые векторы становятся равными $\vec{0}$ и $2\vec{a}$, которые также коллинеарны.
В обоих этих подслучаях необходимым условием является коллинеарность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Теперь рассмотрим основной случай, когда оба вектора не нулевые и $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$. Преобразуем это равенство:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} + k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 + k)\vec{b} = \vec{0}$

Это равенство представляет собой линейную комбинацию векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равную нулевому вектору. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ линейно независимы (то есть не коллинеарны), то такое равенство возможно, только если коэффициенты при них равны нулю: $1-k=0$ и $1+k=0$, что приводит к противоречию ($k=1$ и $k=-1$ одновременно).
Следовательно, для выполнения этого равенства (при $k \neq \pm 1$) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ должны быть линейно зависимы, что для двух векторов означает их коллинеарность.

Таким образом, мы приходим к выводу, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны только в том случае, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Проверим достаточность этого условия. Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то $\vec{b} = m\vec{a}$ для некоторого скаляра $m$.
Тогда $\vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + m\vec{a} = (1+m)\vec{a}$.
И $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - m\vec{a} = (1-m)\vec{a}$.
Оба полученных вектора являются скалярными произведениями вектора $\vec{a}$ и, следовательно, коллинеарны друг другу.

Ответ: Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.