Номер 3.15, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.15. Изображая векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ с помощью диагоналей параллелограмма, найдите условия, при которых $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.

Для того чтобы изобразить векторы суммы $\vec{a} + \vec{b}$ и разности $\vec{a} - \vec{b}$ с помощью диагоналей параллелограмма, отложим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей точки и построим на них параллелограмм.

Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ по правилу параллелограмма будет совпадать с диагональю, исходящей из общего начала векторов. Вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ будет совпадать со второй диагональю, которая соединяет конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$.

Теперь найдем условия, при которых модули этих векторов равны: $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.

Геометрически, модули векторов $|\vec{a} + \vec{b}|$ и $|\vec{a} - \vec{b}|$ представляют собой длины диагоналей построенного параллелограмма. Условие равенства модулей означает, что диагонали параллелограмма равны по длине. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, образующие стороны параллелограмма, должны быть перпендикулярны друг другу.

Придем к тому же выводу алгебраически. Возведем обе части равенства $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ в квадрат (это эквивалентное преобразование, так как модули векторов неотрицательны):$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$

Используя свойство скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$), получим:$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, применяя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):$\vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

После сокращения одинаковых членов в обеих частях уравнения ($|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$) остается:$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Перенеся все в левую часть, получим:$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Равенство скалярного произведения нулю означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ортогональны (перпендикулярны), либо один из них (или оба) является нулевым вектором. Нулевой вектор перпендикулярен любому другому вектору по определению.

Ответ: Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ выполняется тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны (ортогональны). В виде формулы это условие записывается как равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.