Номер 3.12, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.12. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.12). Укажите вектор, начало и конец которого находятся в вершинах данного параллелепипеда и равный выражению:

1) $\vec{AB} + \vec{B_1C_1}$;

2) $\vec{AB} - \vec{B_1C_1}$;

3) $\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$;

4) $\vec{AA_1} - \vec{A_1C_1}$;

5) $\vec{AB} + \vec{DD_1}$;

6) $\vec{AB} - \vec{DB}$;

7) $\vec{AD} + \vec{D_1C_1} + \vec{BB_1}$;

8) $\vec{AB} + \vec{B_1C_1} - \vec{AC_1}$.

Для решения задачи будем использовать свойства векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основные свойства, которые нам понадобятся:
- Равенство векторов: векторы, соответствующие параллельным и равным по длине ребрам, равны. Например, $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$; $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$; $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.
- Правило треугольника: $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.
- Правило параллелограмма: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
- Правило вычитания векторов: $\vec{PQ} - \vec{PR} = \vec{RQ}$.

Изобразим параллелепипед для наглядности:

1) $\vec{AB} + \vec{B_1C_1}$

В параллелепипеде вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$, так как ребра $B_1C_1$ и $BC$ параллельны и равны по длине.
Заменим $\vec{B_1C_1}$ на $\vec{BC}$ в исходном выражении:
$\vec{AB} + \vec{B_1C_1} = \vec{AB} + \vec{BC}$
По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, сумма $\vec{AB} + \vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$.
Таким образом, $\vec{AB} + \vec{B_1C_1} = \vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AC}$

2) $\vec{AB} - \vec{B_1C_1}$

Вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{AD}$.
Заменим $\vec{B_1C_1}$ на $\vec{AD}$ в выражении:
$\vec{AB} - \vec{B_1C_1} = \vec{AB} - \vec{AD}$
По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало (точка A), разность $\vec{AB} - \vec{AD}$ равна вектору $\vec{DB}$.
Таким образом, $\vec{AB} - \vec{B_1C_1} = \vec{DB}$.
Ответ: $\vec{DB}$

3) $\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$

Данное выражение является прямой иллюстрацией правила треугольника для сложения векторов, так как конец первого вектора ($\vec{AA_1}$) совпадает с началом второго ($\vec{A_1C_1}$).
$\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{AC_1}$
Ответ: $\vec{AC_1}$

4) $\vec{AA_1} - \vec{A_1C_1}$

Вектор $\vec{A_1C_1}$ равен вектору $\vec{AC}$, так как диагонали $A_1C_1$ и $AC$ параллельны и равны (грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ - равные параллелограммы).
Заменим $\vec{A_1C_1}$ на $\vec{AC}$:
$\vec{AA_1} - \vec{A_1C_1} = \vec{AA_1} - \vec{AC}$
По правилу вычитания векторов с общим началом (точка A):
$\vec{AA_1} - \vec{AC} = \vec{CA_1}$
Ответ: $\vec{CA_1}$

5) $\vec{AB} + \vec{DD_1}$

Вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{BB_1}$, так как боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны.
Заменим $\vec{DD_1}$ на $\vec{BB_1}$:
$\vec{AB} + \vec{DD_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$
По правилу треугольника:
$\vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}$
Ответ: $\vec{AB_1}$

6) $\vec{AB} - \vec{DB}$

Вычитание вектора $\vec{DB}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{BD}$.
$\vec{AB} - \vec{DB} = \vec{AB} + (-\vec{DB}) = \vec{AB} + \vec{BD}$
По правилу треугольника:
$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$
Ответ: $\vec{AD}$

7) $\vec{AD} + \vec{D_1C_1} + \vec{BB_1}$

Упростим выражение, заменив векторы равными им для применения правила треугольника.
Вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{DD_1}$.
Вектор $\vec{D_1C_1}$ равен вектору $\vec{AB}$, но для удобства сложения лучше сделать так, чтобы векторы образовывали непрерывную цепь.
Выполним замену $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$ и перегруппируем слагаемые:
$\vec{AD} + \vec{D_1C_1} + \vec{BB_1} = \vec{AD} + \vec{D_1C_1} + \vec{DD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1}$
Теперь векторы образуют непрерывную цепь. Применим правило треугольника последовательно:
$(\vec{AD} + \vec{DD_1}) + \vec{D_1C_1} = \vec{AD_1} + \vec{D_1C_1} = \vec{AC_1}$
Ответ: $\vec{AC_1}$

8) $\vec{AB} + \vec{B_1C_1} - \vec{AC_1}$

Сначала упростим сумму $\vec{AB} + \vec{B_1C_1}$. Как мы выяснили в пункте 1, $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$, поэтому:
$\vec{AB} + \vec{B_1C_1} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
Теперь подставим этот результат в исходное выражение:
$(\vec{AB} + \vec{B_1C_1}) - \vec{AC_1} = \vec{AC} - \vec{AC_1}$
Используем правило вычитания векторов с общим началом (точка A):
$\vec{AC} - \vec{AC_1} = \vec{C_1C}$
Ответ: $\vec{C_1C}$