Номер 3.19, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.19. Дана правильная четырехугольная пирамида ABCDE (рис. 3.15). Покажите, что $\vec{OE} + \vec{DE} + \vec{BC} + \vec{EB} + \vec{AO} = \vec{AE} + \vec{AD} + \vec{AB} + \vec{DA}$.

Рис. 3.15

Для того чтобы доказать данное векторное равенство, мы преобразуем его левую и правую части по отдельности и покажем, что они равны.

1. Преобразование правой части равенства.

Правая часть равенства имеет вид: $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} $.

В этой сумме присутствуют два противоположных вектора $ \overrightarrow{AD} $ и $ \overrightarrow{DA} $. Их сумма равна нулевому вектору:

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0} $.

Таким образом, правая часть упрощается до:

$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} + \vec{0} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} $.

2. Преобразование левой части равенства.

Левая часть равенства имеет вид: $ \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{AO} $.

Сгруппируем векторы, используя коммутативность сложения, чтобы применить правило треугольника (правило Шаля):

$ (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OE}) + (\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EB}) + \overrightarrow{BC} $.

По правилу треугольника сложения векторов:

$ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{AE} $

$ \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{DB} $

Подставим эти результаты в выражение для левой части:

$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} $.

Снова перегруппируем слагаемые и применим правило треугольника:

$ \overrightarrow{AE} + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC}) $.

Сумма векторов $ \overrightarrow{DB} $ и $ \overrightarrow{BC} $ по правилу треугольника равна вектору $ \overrightarrow{DC} $ (вектор из начала первого в конец второго).

Таким образом, левая часть равна:

$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DC} $.

3. Сравнение левой и правой частей.

Мы получили:

Левая часть: $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DC} $

Правая часть: $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} $

Для того чтобы равенство было верным, должно выполняться условие $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $.

По условию задачи, пирамида $ ABCDE $ — правильная четырехугольная. Это означает, что в ее основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат $ ABCD $. В квадрате (как и в любом параллелограмме) противолежащие стороны равны и параллельны. Следовательно, векторы, направленные вдоль этих сторон в одном направлении, равны.

Векторы $ \overrightarrow{AB} $ и $ \overrightarrow{DC} $ коллинеарны (параллельны), сонаправлены и имеют одинаковую длину, равную стороне квадрата. Значит, $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $.

Подставляя $ \overrightarrow{AB} $ вместо $ \overrightarrow{DC} $ в выражение для левой части, получаем:

Левая часть = $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} $.

Это выражение совпадает с преобразованной правой частью.

Ответ:

Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} $, исходное равенство $ \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} $ является верным, что и требовалось доказать.