Номер 3.22, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельным переносом на $\vec{AC_1}$ отображается в другой куб. Найдите наибольшее расстояние между точками кубов, если $AB = a$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ находится в начале координат, а ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Длина ребра куба равна $a$.

Координаты вершин исходного куба $K$:

$A(0, 0, 0)$
$B(a, 0, 0)$
$D(0, a, 0)$
$A_1(0, 0, a)$
$C(a, a, 0)$
$B_1(a, 0, a)$
$D_1(0, a, a)$
$C_1(a, a, a)$

Куб отображается в другой куб $K'$ параллельным переносом на вектор $\vec{v} = \vec{AC_1}$. Найдем координаты этого вектора:$\vec{v} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Нам нужно найти наибольшее расстояние между точками двух кубов. Пусть $P(x_P, y_P, z_P)$ — произвольная точка исходного куба $K$, а $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$ — произвольная точка второго куба $K'$.

Координаты точки $P$ удовлетворяют неравенствам:$0 \le x_P \le a$
$0 \le y_P \le a$
$0 \le z_P \le a$

Любая точка $Q$ из куба $K'$ является образом некоторой точки $R(x_R, y_R, z_R)$ из куба $K$ при переносе на вектор $\vec{v}$. Следовательно, координаты точки $Q$ можно выразить как:$Q = R + \vec{v} = (x_R + a, y_R + a, z_R + a)$

Координаты точки $R$ также удовлетворяют неравенствам:$0 \le x_R \le a$
$0 \le y_R \le a$
$0 \le z_R \le a$

Квадрат расстояния $d^2$ между точками $P$ и $Q$ вычисляется по формуле:$d^2 = (x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2$

Подставим выражения для координат точки $Q$:$d^2 = (x_R + a - x_P)^2 + (y_R + a - y_P)^2 + (z_R + a - z_P)^2$

Чтобы найти максимальное расстояние $d$, нужно максимизировать выражение для $d^2$. Для этого нужно максимизировать каждое слагаемое в сумме. Рассмотрим первое слагаемое $(x_R - x_P + a)^2$.

Поскольку $x_P \in [0, a]$ и $x_R \in [0, a]$, то разность $x_R - x_P$ находится в интервале $[-a, a]$.Тогда выражение $x_R - x_P + a$ находится в интервале $[-a+a, a+a] = [0, 2a]$.Квадрат этого выражения $(x_R - x_P + a)^2$ достигает своего наибольшего значения, когда основание степени максимально, то есть равно $2a$. Это достигается при $x_R = a$ и $x_P = 0$.

Аналогично, для максимизации двух других слагаемых необходимо, чтобы:$y_R = a$ и $y_P = 0$$z_R = a$ и $z_P = 0$

Таким образом, максимальное расстояние будет между точкой $P$ с координатами $(0, 0, 0)$ и точкой $Q$, которая является образом точки $R$ с координатами $(a, a, a)$.

Точка $P(0, 0, 0)$ — это вершина $A$ исходного куба.Точка $R(a, a, a)$ — это вершина $C_1$ исходного куба.Точка $Q$ является образом точки $C_1$, то есть это вершина $C'_1$ второго куба. Ее координаты:$Q = C_1 + \vec{AC_1} = (a, a, a) + (a, a, a) = (2a, 2a, 2a)$.

Теперь найдем расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $Q(2a, 2a, 2a)$:$d_{max} = \sqrt{(2a - 0)^2 + (2a - 0)^2 + (2a - 0)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2 + 4a^2} = \sqrt{12a^2} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^2} = 2a\sqrt{3}$.

Это и есть наибольшее расстояние между точками двух кубов.

Ответ: $2a\sqrt{3}$