Номер 3.29, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.29. В пространстве даны два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Покажите, что $\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = 3 \cdot \vec{OO_1}$, где $O$ и $O_1$ – точки пересечения медиан данных треугольников.

Пусть $M$ — произвольная точка в пространстве. Точка $O$ является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Следовательно, для точки $O$ справедливо равенство, выражающее её радиус-вектор $\vec{MO}$ через радиус-векторы вершин: $\vec{MO} = \frac{1}{3}(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC})$.

Аналогично, для точки $O_1$, которая является центроидом треугольника $A_1B_1C_1$, справедливо равенство: $\vec{MO_1} = \frac{1}{3}(\vec{MA_1} + \vec{MB_1} + \vec{MC_1})$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства. Используя правило разности векторов ($\vec{XY} = \vec{MY} - \vec{MX}$), представим каждый вектор как разность радиус-векторов, проведенных из точки $M$:

$\vec{AA_1} = \vec{MA_1} - \vec{MA}$
$\vec{BB_1} = \vec{MB_1} - \vec{MB}$
$\vec{CC_1} = \vec{MC_1} - \vec{MC}$

Сложим эти три векторных равенства и сгруппируем слагаемые:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = (\vec{MA_1} - \vec{MA}) + (\vec{MB_1} - \vec{MB}) + (\vec{MC_1} - \vec{MC}) = (\vec{MA_1} + \vec{MB_1} + \vec{MC_1}) - (\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC})$

Из определения радиус-векторов центроидов $O$ и $O_1$ имеем:

$3\vec{MO} = \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}$
$3\vec{MO_1} = \vec{MA_1} + \vec{MB_1} + \vec{MC_1}$

Подставим эти выражения в полученное равенство:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = 3\vec{MO_1} - 3\vec{MO}$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = 3(\vec{MO_1} - \vec{MO})$

Поскольку разность векторов $\vec{MO_1} - \vec{MO}$ равна вектору $\vec{OO_1}$, мы приходим к искомому равенству:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = 3\vec{OO_1}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.