Номер 3.34, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.34. Найдите координаты вектора:

1)

$ \\vec{a} = 3\\vec{i} - 5\\vec{j} + \\vec{k}; $

2)

$ \\vec{b} = 0.5\\vec{i} + 3\\vec{j} - \\vec{k}; $

3)

$ \\vec{c} = -3\\vec{i} + 3\\vec{k}; $

4)

$ \\vec{d} = \\vec{j}. $

Координаты вектора в трёхмерной прямоугольной системе координат представляют собой коэффициенты в разложении этого вектора по базисным векторам (ортам) $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$. В общем виде, если вектор $\vec{v}$ представлен как линейная комбинация $\vec{v} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j} + v_z\vec{k}$, то его координаты записываются в виде упорядоченной тройки чисел: $\vec{v}\{v_x; v_y; v_z\}$.

1) Дан вектор $\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k}$. Здесь коэффициент при $\vec{i}$ равен $3$, коэффициент при $\vec{j}$ равен $-5$, а коэффициент при $\vec{k}$ равен $1$ (так как $\vec{k} = 1 \cdot \vec{k}$). Таким образом, координаты вектора $\vec{a}$ по осям Ox, Oy и Oz равны $3, -5, 1$.
Ответ: $\vec{a}\{3; -5; 1\}$.

2) Дан вектор $\vec{b} = 0,5\vec{i} + 3\vec{j} - \vec{k}$. Коэффициент при $\vec{i}$ равен $0,5$. Коэффициент при $\vec{j}$ равен $3$. Коэффициент при $\vec{k}$ равен $-1$ (так как $-\vec{k} = -1 \cdot \vec{k}$). Следовательно, координаты вектора $\vec{b}$ равны $0,5, 3, -1$.
Ответ: $\vec{b}\{0,5; 3; -1\}$.

3) Дан вектор $\vec{c} = -3\vec{i} + 3\vec{k}$. В этом разложении отсутствует слагаемое с вектором $\vec{j}$. Это означает, что проекция вектора на ось Oy равна нулю, и соответствующий коэффициент равен $0$. Полное разложение вектора можно записать как $\vec{c} = -3\vec{i} + 0\vec{j} + 3\vec{k}$. Координаты вектора $\vec{c}$ равны $-3, 0, 3$.
Ответ: $\vec{c}\{-3; 0; 3\}$.

4) Дан вектор $\vec{d} = \vec{j}$. В этом выражении отсутствуют слагаемые с векторами $\vec{i}$ и $\vec{k}$. Это означает, что их коэффициенты равны нулю. Коэффициент при $\vec{j}$ равен $1$. Полное разложение вектора имеет вид $\vec{d} = 0\vec{i} + 1\vec{j} + 0\vec{k}$. Координаты вектора $\vec{d}$ равны $0, 1, 0$.
Ответ: $\vec{d}\{0; 1; 0\}$.