Номер 3.40, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.40. Укажите все пары коллинеарных векторов:

$\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j}$, $\vec{b} = 2\vec{j} - 4\vec{k}$, $\vec{c} = 6\vec{i} - 10\vec{j} + 8\vec{k}$, $\vec{p} = -\vec{j} + 2\vec{k}$, $\vec{q} = 5\vec{j} - 4\vec{k} - 3\vec{i}$, $\vec{m} = 12\vec{i} - 20\vec{j} + 16\vec{k}$.

Два ненулевых вектора $\vec{u}$ и $\vec{v}$ называются коллинеарными, если существует такое число $k \neq 0$, что выполняется равенство $\vec{u} = k\vec{v}$. Это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов $\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)$ условие коллинеарности можно записать в виде отношения: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$. Если одна из координат одного вектора равна нулю, то для коллинеарности соответствующая координата другого вектора также должна быть равна нулю (за исключением случая, когда весь вектор нулевой).

Сначала запишем координаты всех данных векторов в стандартном базисе $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$:

$\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} \implies \vec{a} = (2, -1, 0)$

$\vec{b} = 2\vec{j} - 4\vec{k} \implies \vec{b} = (0, 2, -4)$

$\vec{c} = 6\vec{i} - 10\vec{j} + 8\vec{k} \implies \vec{c} = (6, -10, 8)$

$\vec{p} = -\vec{j} + 2\vec{k} \implies \vec{p} = (0, -1, 2)$

$\vec{q} = 5\vec{j} - 4\vec{k} - 3\vec{i} = -3\vec{i} + 5\vec{j} - 4\vec{k} \implies \vec{q} = (-3, 5, -4)$

$\vec{m} = 12\vec{i} - 20\vec{j} + 16\vec{k} \implies \vec{m} = (12, -20, 16)$

Теперь попарно проверим векторы на коллинеарность, находя отношение их координат.

1. Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{p}$:
Координаты $\vec{b} = (0, 2, -4)$ и $\vec{p} = (0, -1, 2)$.
Первая координата у обоих векторов равна 0. Проверим отношение для остальных координат:
$\frac{2}{-1} = -2$
$\frac{-4}{2} = -2$
Отношения равны, следовательно, векторы коллинеарны, и выполняется соотношение $\vec{b} = -2\vec{p}$. Таким образом, ($\vec{b}, \vec{p}$) — пара коллинеарных векторов.

2. Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{q}$:
Координаты $\vec{c} = (6, -10, 8)$ и $\vec{q} = (-3, 5, -4)$.
Найдем отношения их координат:
$\frac{6}{-3} = -2$
$\frac{-10}{5} = -2$
$\frac{8}{-4} = -2$
Отношения равны, следовательно, векторы коллинеарны, и $\vec{c} = -2\vec{q}$. Таким образом, ($\vec{c}, \vec{q}$) — пара коллинеарных векторов.

3. Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{m}$:
Координаты $\vec{c} = (6, -10, 8)$ и $\vec{m} = (12, -20, 16)$.
Найдем отношения их координат:
$\frac{12}{6} = 2$
$\frac{-20}{-10} = 2$
$\frac{16}{8} = 2$
Отношения равны, следовательно, векторы коллинеарны, и $\vec{m} = 2\vec{c}$. Таким образом, ($\vec{c}, \vec{m}$) — пара коллинеарных векторов.

4. Сравним векторы $\vec{q}$ и $\vec{m}$:
Координаты $\vec{q} = (-3, 5, -4)$ и $\vec{m} = (12, -20, 16)$.
Поскольку $\vec{c}$ коллинеарен $\vec{q}$ и $\vec{c}$ коллинеарен $\vec{m}$, то векторы $\vec{q}$ и $\vec{m}$ также должны быть коллинеарны. Проверим это напрямую:
$\frac{12}{-3} = -4$
$\frac{-20}{5} = -4$
$\frac{16}{-4} = -4$
Отношения равны, следовательно, векторы коллинеарны, и $\vec{m} = -4\vec{q}$. Таким образом, ($\vec{q}, \vec{m}$) — пара коллинеарных векторов.

5. Проверка остальных пар:
Вектор $\vec{a}=(2, -1, 0)$ имеет нулевую третью координату ($z=0$), в то время как векторы $\vec{c}, \vec{q}, \vec{m}$ имеют ненулевые третьи координаты, поэтому $\vec{a}$ не может быть им коллинеарен. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{p}$ имеют нулевую первую координату ($x=0$), а $\vec{a}$ — ненулевую, поэтому $\vec{a}$ не коллинеарен $\vec{b}$ и $\vec{p}$.
Векторы из группы $\{\vec{b}, \vec{p}\}$ (с $x=0$) не могут быть коллинеарны векторам из группы $\{\vec{c}, \vec{q}, \vec{m}\}$ (с $x \neq 0$).

Следовательно, мы нашли все пары коллинеарных векторов.

Ответ: Коллинеарными являются следующие пары векторов: $(\vec{b}, \vec{p})$, $(\vec{c}, \vec{q})$, $(\vec{c}, \vec{m})$, $(\vec{q}, \vec{m})$.