Номер 3.44, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.44. Среди векторов $\vec{m_1} = (1; -6; 3)$, $\vec{m_2} = (0; -4; 5)$, $\vec{m_3} = (5; 0; 0)$, $\vec{m_4} = (0; 2; 0)$, $\vec{m_5} = (-2; 0; 3)$, $\vec{m_6} = (2; -3; 6)$, $\vec{m_7} =(0; 0; -1)$, $\vec{m_8} = (3; -1; 0)$, $\vec{m_9} = (3; 0; -1)$, $\vec{m_{10}} = (0;-2;0)$ укажите векторы:

1) коллинеарные вектору $\vec{i}$;

2) коллинеарные вектору $\vec{j}$;

3) коллинеарные вектору $\vec{k}$;

4) компланарные векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$;

5) компланарные векторам $\vec{i}$ и $\vec{k}$;

6) компланарные векторам $\vec{j}$ и $\vec{k}$.

Для решения задачи воспользуемся определениями коллинеарности и компланарности векторов, а также координатами базисных векторов в трехмерном пространстве: $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$, $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

1) коллинеарные вектору $\vec{i}$

Вектор коллинеарен вектору $\vec{i}=(1; 0; 0)$, если его можно представить в виде $\lambda \cdot \vec{i} = (\lambda; 0; 0)$ для некоторого скаляра $\lambda \neq 0$. Это означает, что у вектора вторая и третья координаты должны быть равны нулю, а первая — отлична от нуля. Среди предложенных векторов этому условию удовлетворяет только вектор $\vec{m_3} = (5; 0; 0)$, так как $\vec{m_3} = 5\vec{i}$.

Ответ: $\vec{m_3}$

2) коллинеарные вектору $\vec{j}$

Вектор коллинеарен вектору $\vec{j}=(0; 1; 0)$, если его можно представить в виде $\lambda \cdot \vec{j} = (0; \lambda; 0)$ для некоторого скаляра $\lambda \neq 0$. Это означает, что у вектора первая и третья координаты должны быть равны нулю, а вторая — отлична от нуля. Этому условию удовлетворяют векторы:

$\vec{m_4} = (0; 2; 0)$, так как $\vec{m_4} = 2\vec{j}$.

$\vec{m_{10}} = (0; -2; 0)$, так как $\vec{m_{10}} = -2\vec{j}$.

Ответ: $\vec{m_4}, \vec{m_{10}}$

3) коллинеарные вектору $\vec{k}$

Вектор коллинеарен вектору $\vec{k}=(0; 0; 1)$, если его можно представить в виде $\lambda \cdot \vec{k} = (0; 0; \lambda)$ для некоторого скаляра $\lambda \neq 0$. Это означает, что у вектора первая и вторая координаты должны быть равны нулю, а третья — отлична от нуля. Этому условию удовлетворяет вектор $\vec{m_7} = (0; 0; -1)$, так как $\vec{m_7} = -1\vec{k}$.

Ответ: $\vec{m_7}$

4) компланарные векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$

Вектор компланарен векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$, если он лежит в одной плоскости с ними (в плоскости Oxy). Это означает, что вектор можно представить в виде их линейной комбинации $\vec{a} = \alpha\vec{i} + \beta\vec{j} = (\alpha; \beta; 0)$. Таким образом, третья координата (координата z) вектора должна быть равна нулю. Этому условию удовлетворяют векторы:

$\vec{m_3} = (5; 0; 0)$

$\vec{m_4} = (0; 2; 0)$

$\vec{m_8} = (3; -1; 0)$

$\vec{m_{10}} = (0; -2; 0)$

Ответ: $\vec{m_3}, \vec{m_4}, \vec{m_8}, \vec{m_{10}}$

5) компланарные векторам $\vec{i}$ и $\vec{k}$

Вектор компланарен векторам $\vec{i}$ и $\vec{k}$, если он лежит в одной плоскости с ними (в плоскости Oxz). Это означает, что вектор можно представить в виде их линейной комбинации $\vec{a} = \alpha\vec{i} + \gamma\vec{k} = (\alpha; 0; \gamma)$. Таким образом, вторая координата (координата y) вектора должна быть равна нулю. Этому условию удовлетворяют векторы:

$\vec{m_3} = (5; 0; 0)$

$\vec{m_5} = (-2; 0; 3)$

$\vec{m_7} = (0; 0; -1)$

$\vec{m_9} = (3; 0; -1)$

Ответ: $\vec{m_3}, \vec{m_5}, \vec{m_7}, \vec{m_9}$

6) компланарные векторам $\vec{j}$ и $\vec{k}$

Вектор компланарен векторам $\vec{j}$ и $\vec{k}$, если он лежит в одной плоскости с ними (в плоскости Oyz). Это означает, что вектор можно представить в виде их линейной комбинации $\vec{a} = \beta\vec{j} + \gamma\vec{k} = (0; \beta; \gamma)$. Таким образом, первая координата (координата x) вектора должна быть равна нулю. Этому условию удовлетворяют векторы:

$\vec{m_2} = (0; -4; 5)$

$\vec{m_4} = (0; 2; 0)$

$\vec{m_7} = (0; 0; -1)$

$\vec{m_{10}} = (0; -2; 0)$

Ответ: $\vec{m_2}, \vec{m_4}, \vec{m_7}, \vec{m_{10}}$