Номер 3.39, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Какие из векторов $\vec{a} = (3; -2; 1)$, $\vec{b}=(6; -8; 4)$, $\vec{c}=(6; -4; 2)$, $\vec{p}=(1.5; -1; 0.5)$, $\vec{q}=(-3; 4; -2)$ коллинеарны?

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\vec{u} = (u_x; u_y; u_z)$ и $\vec{v} = (v_x; v_y; v_z)$ должно выполняться равенство $\frac{v_x}{u_x} = \frac{v_y}{u_y} = \frac{v_z}{u_z} = k$, где $k$ – некоторое число (коэффициент пропорциональности). Если одна из координат одного вектора равна нулю, то для коллинеарности соответствующая координата другого вектора также должна быть равна нулю.

Проверим попарно все данные векторы на коллинеарность, находя отношения их соответствующих координат.

1. Сравнение вектора $\vec{a} = (3; -2; 1)$ с остальными.

$\vec{a}$ и $\vec{b} = (6; -8; 4)$:
$\frac{6}{3} = 2$; $\frac{-8}{-2} = 4$; $\frac{4}{1} = 4$.
Отношения не равны ($2 \neq 4$), значит векторы не коллинеарны.

$\vec{a}$ и $\vec{c} = (6; -4; 2)$:
$\frac{6}{3} = 2$; $\frac{-4}{-2} = 2$; $\frac{2}{1} = 2$.
Отношения равны, значит векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны ($\vec{c} = 2\vec{a}$).

$\vec{a}$ и $\vec{p} = (1.5; -1; 0.5)$:
$\frac{1.5}{3} = 0.5$; $\frac{-1}{-2} = 0.5$; $\frac{0.5}{1} = 0.5$.
Отношения равны, значит векторы $\vec{a}$ и $\vec{p}$ коллинеарны ($\vec{p} = 0.5\vec{a}$).

$\vec{a}$ и $\vec{q} = (-3; 4; -2)$:
$\frac{-3}{3} = -1$; $\frac{4}{-2} = -2$; $\frac{-2}{1} = -2$.
Отношения не равны ($-1 \neq -2$), значит векторы не коллинеарны.

Из первого этапа проверки мы установили, что векторы $\vec{a}$, $\vec{c}$ и $\vec{p}$ коллинеарны между собой. Теперь проверим оставшуюся пару векторов, которые не были коллинеарны вектору $\vec{a}$.

2. Сравнение вектора $\vec{b} = (6; -8; 4)$ с вектором $\vec{q} = (-3; 4; -2)$.

$\frac{-3}{6} = -0.5$; $\frac{4}{-8} = -0.5$; $\frac{-2}{4} = -0.5$.
Отношения равны, значит векторы $\vec{b}$ и $\vec{q}$ коллинеарны ($\vec{q} = -0.5\vec{b}$).

Таким образом, данные векторы можно разбить на две группы коллинеарных векторов.

Ответ: Коллинеарными являются следующие группы векторов: 1) $\vec{a}$, $\vec{c}$, $\vec{p}$; 2) $\vec{b}$, $\vec{q}$.