Номер 3.36, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.36. Даны векторы $\vec{a}=(1; 0; 1)$, $\vec{b}=(3; -2; 1)$, $\vec{c}=(2; -1; -2)$.

Найдите:

1) $\vec{a}+\vec{b}$;

2) $\vec{c}-\vec{b}$;

3) $2\vec{a}-\vec{b}$;

4) $3\vec{b}-2\vec{c}$;

5) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$;

6) $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$;

7) $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$;

8) $-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

Даны векторы $\vec{a}=(1; 0; 1)$, $\vec{b}=(3; -2; 1)$, $\vec{c}=(2; -1; -2)$.

1) $\vec{a}+\vec{b}$
Для нахождения суммы векторов необходимо сложить их соответствующие координаты:
$\vec{a}+\vec{b} = (1; 0; 1) + (3; -2; 1) = (1+3; 0+(-2); 1+1) = (4; -2; 2)$.
Ответ: $(4; -2; 2)$.

2) $\vec{c}-\vec{b}$
Для нахождения разности векторов необходимо вычесть соответствующие координаты одного вектора из другого:
$\vec{c}-\vec{b} = (2; -1; -2) - (3; -2; 1) = (2-3; -1-(-2); -2-1) = (-1; 1; -3)$.
Ответ: $(-1; 1; -3)$.

3) $2\vec{a}-\vec{b}$
Сначала умножим вектор $\vec{a}$ на скаляр 2:
$2\vec{a} = 2 \cdot (1; 0; 1) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 0; 2 \cdot 1) = (2; 0; 2)$.
Затем вычтем вектор $\vec{b}$ из полученного вектора:
$2\vec{a}-\vec{b} = (2; 0; 2) - (3; -2; 1) = (2-3; 0-(-2); 2-1) = (-1; 2; 1)$.
Ответ: $(-1; 2; 1)$.

4) $3\vec{b}-2\vec{c}$
Сначала выполним умножение векторов на скаляры:
$3\vec{b} = 3 \cdot (3; -2; 1) = (9; -6; 3)$.
$2\vec{c} = 2 \cdot (2; -1; -2) = (4; -2; -4)$.
Теперь найдем разность полученных векторов:
$3\vec{b}-2\vec{c} = (9; -6; 3) - (4; -2; -4) = (9-4; -6-(-2); 3-(-4)) = (5; -4; 7)$.
Ответ: $(5; -4; 7)$.

5) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$
Сложим соответствующие координаты всех трех векторов:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = (1; 0; 1) + (3; -2; 1) + (2; -1; -2) = (1+3+2; 0-2-1; 1+1-2) = (6; -3; 0)$.
Ответ: $(6; -3; 0)$.

6) $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$
Последовательно вычтем координаты векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ из координат вектора $\vec{a}$:
$\vec{a}-\vec{b}-\vec{c} = (1; 0; 1) - (3; -2; 1) - (2; -1; -2) = (1-3-2; 0-(-2)-(-1); 1-1-(-2)) = (-4; 2+1; 0+2) = (-4; 3; 2)$.
Ответ: $(-4; 3; 2)$.

7) $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$
Сложим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и вычтем координаты вектора $\vec{c}$:
$\vec{a}+\vec{b}-\vec{c} = (1; 0; 1) + (3; -2; 1) - (2; -1; -2) = (1+3-2; 0+(-2)-(-1); 1+1-(-2)) = (2; -1; 4)$.
Ответ: $(2; -1; 4)$.

8) $-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$
Сначала найдем вектор $-\vec{a}$:
$-\vec{a} = -1 \cdot (1; 0; 1) = (-1; 0; -1)$.
Теперь сложим полученный вектор с векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$:
$-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = (-1; 0; -1) + (3; -2; 1) + (2; -1; -2) = (-1+3+2; 0-2-1; -1+1-2) = (4; -3; -2)$.
Ответ: $(4; -3; -2)$.