Номер 3.41, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.41. Даны точки A(2; -3; 4), B(0; 2; -3) и вектор $\vec{OC} = (0; -2; 0)$.

Найдите:

1) $|\vec{AB}|$;

2) $|\vec{BC}|$;

3) $|\vec{CA} + \vec{CB}|$;

4) $|\vec{AB} - \vec{BC}|$, где O(0; 0; 0).

Для решения задачи сначала найдем координаты всех точек. Даны точки $A(2; -3; 4)$ и $B(0; 2; -3)$. Координаты точки $O$ — начало координат $O(0; 0; 0)$. Вектор $\vec{OC}$ имеет координаты $(0; -2; 0)$. Так как начало вектора $\vec{OC}$ находится в точке $O(0; 0; 0)$, то координаты его конца, точки C, совпадают с координатами самого вектора. Таким образом, точка C имеет координаты $C(0; -2; 0)$.

1) $|\vec{AB}|$
Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$ как разность координат его конца (точки B) и начала (точки A):
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 2; 2 - (-3); -3 - 4) = (-2; 5; -7)$.
Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{AB}$ по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 25 + 49} = \sqrt{78}$.
Ответ: $\sqrt{78}$.

2) $|\vec{BC}|$
Найдем координаты вектора $\vec{BC}$ как разность координат точек C и B:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (0 - 0; -2 - 2; 0 - (-3)) = (0; -4; 3)$.
Найдем модуль вектора $\vec{BC}$:
$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5.

3) $|\vec{CA} + \vec{CB}|$
Найдем координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$:
$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C; z_A - z_C) = (2 - 0; -3 - (-2); 4 - 0) = (2; -1; 4)$.
$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C; z_B - z_C) = (0 - 0; 2 - (-2); -3 - 0) = (0; 4; -3)$.
Теперь найдем сумму векторов, сложив их соответствующие координаты:
$\vec{CA} + \vec{CB} = (2 + 0; -1 + 4; 4 + (-3)) = (2; 3; 1)$.
Найдем модуль результирующего вектора:
$|\vec{CA} + \vec{CB}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
Ответ: $\sqrt{14}$.

4) $|\vec{AB} - \vec{BC}|$
Используем ранее найденные координаты векторов $\vec{AB} = (-2; 5; -7)$ и $\vec{BC} = (0; -4; 3)$.
Найдем разность векторов, вычитая соответствующие координаты:
$\vec{AB} - \vec{BC} = (-2 - 0; 5 - (-4); -7 - 3) = (-2; 9; -10)$.
Найдем модуль результирующего вектора:
$|\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 9^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 81 + 100} = \sqrt{185}$.
Ответ: $\sqrt{185}$.