Номер 3.48, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.48. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, если $A(1; 3; 2)$, $B(0; 2; 4)$, $C(1; 1; 4)$, $D(2; 2; 2)$.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, можно использовать один из признаков параллелограмма. Например, четырехугольник является параллелограммом, если векторы его противоположных сторон равны.

Докажем, что вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора определяются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

Начало вектора - точка A(1; 3; 2), конец - точка B(0; 2; 4).

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 1; 2 - 3; 4 - 2) = (-1; -1; 2)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{DC}$.

Начало вектора - точка D(2; 2; 2), конец - точка C(1; 1; 4).

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (1 - 2; 1 - 2; 4 - 2) = (-1; -1; 2)$.

3. Сравним полученные векторы.

$\vec{AB} = (-1; -1; 2)$

$\vec{DC} = (-1; -1; 2)$

Поскольку соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, то сами векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов означает, что они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны. Следовательно, отрезки AB и DC параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Альтернативный способ:

Можно доказать, что диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Для этого нужно найти координаты середин диагоналей AC и BD и убедиться, что они совпадают.

Координаты середины отрезка находятся по формуле $M(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}; \frac{z_1+z_2}{2})$.

Середина диагонали AC: $M_{AC} = (\frac{1+1}{2}; \frac{3+1}{2}; \frac{2+4}{2}) = (\frac{2}{2}; \frac{4}{2}; \frac{6}{2}) = (1; 2; 3)$.

Середина диагонали BD: $M_{BD} = (\frac{0+2}{2}; \frac{2+2}{2}; \frac{4+2}{2}) = (\frac{2}{2}; \frac{4}{2}; \frac{6}{2}) = (1; 2; 3)$.

Так как координаты середин диагоналей AC и BD совпадают, то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник ABCD является параллелограммом.