Страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.45. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ даны координаты четырех вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $A_1(4; 2; 0)$, $D(6; 0; 1)$. Найдите координаты остальных вершин.

Для нахождения координат остальных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся его свойствами. В параллелепипеде противоположные грани являются параллелограммами, а боковые ребра параллельны и равны. Это означает, что для векторов, определяющих вершины, выполняются следующие равенства:

• $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$ (свойство параллелограмма $ABCD$)
• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$ (свойство параллельного переноса оснований)

Даны координаты вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $A_1(4; 2; 0)$, $D(6; 0; 1)$.

Требуется найти координаты вершин $C, B_1, C_1, D_1$.

Вершина C

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то выполняется правило сложения векторов (правило параллелограмма): $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. В координатной форме для радиус-векторов это означает $\vec{C} - \vec{A} = (\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{D} - \vec{A})$, откуда получаем $\vec{C} = \vec{B} + \vec{D} - \vec{A}$.

Вычислим координаты точки $C(x_C; y_C; z_C)$:

$x_C = x_B + x_D - x_A = 1 + 6 - 2 = 5$

$y_C = y_B + y_D - y_A = 3 + 0 - (-1) = 4$

$z_C = z_B + z_D - z_A = 4 + 1 - 1 = 4$

Ответ: $C(5; 4; 4)$.

Теперь найдем вектор параллельного переноса $\vec{AA_1}$, который будет использоваться для нахождения вершин верхнего основания.

$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (4 - 2; 2 - (-1); 0 - 1) = (2; 3; -1)$.

Вершина B₁

Координаты вершины $B_1$ находим по правилу $\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{AA_1}$ (поскольку $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$).

$x_{B_1} = x_B + 2 = 1 + 2 = 3$

$y_{B_1} = y_B + 3 = 3 + 3 = 6$

$z_{B_1} = z_B + (-1) = 4 - 1 = 3$

Ответ: $B_1(3; 6; 3)$.

Вершина D₁

Координаты вершины $D_1$ находим по правилу $\vec{D_1} = \vec{D} + \vec{AA_1}$ (поскольку $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$).

$x_{D_1} = x_D + 2 = 6 + 2 = 8$

$y_{D_1} = y_D + 3 = 0 + 3 = 3$

$z_{D_1} = z_D + (-1) = 1 - 1 = 0$

Ответ: $D_1(8; 3; 0)$.

Вершина C₁

Координаты вершины $C_1$ находим по правилу $\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{AA_1}$ (поскольку $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$). Используем найденные ранее координаты точки $C(5; 4; 4)$.

$x_{C_1} = x_C + 2 = 5 + 2 = 7$

$y_{C_1} = y_C + 3 = 4 + 3 = 7$

$z_{C_1} = z_C + (-1) = 4 - 1 = 3$

Ответ: $C_1(7; 7; 3)$.

3.46. Дана трапеция $ABCD$ и три его вершины $A(-2;-3;1)$, $B(1;4;3)$, $C(3;1;-2)$. Найдите координаты вершины $D$ при условии, что основание $AD$ в пять раз больше основания $BC$.

Поскольку $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, то стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Это означает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны.

Условие коллинеарности векторов можно записать в виде $\vec{AD} = k \cdot \vec{BC}$, где $k$ — некоторое скалярное число.

По условию задачи, длина основания $AD$ в пять раз больше длины основания $BC$. В векторной форме это записывается как $|\vec{AD}| = 5 |\vec{BC}|$.

Из векторного равенства $\vec{AD} = k \cdot \vec{BC}$ следует, что $|\vec{AD}| = |k| \cdot |\vec{BC}|$. Сопоставляя это с условием задачи, получаем $|k| \cdot |\vec{BC}| = 5 |\vec{BC}|$, откуда $|k|=5$. Это значит, что $k=5$ или $k=-5$.

Так как в трапеции $ABCD$ основаниями являются $AD$ и $BC$, предполагается, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление). В этом случае коэффициент $k$ положителен, то есть $k=5$. Таким образом, мы имеем векторное равенство: $\vec{AD} = 5 \cdot \vec{BC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек $B(1; 4; 3)$ и $C(3; 1; -2)$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (3 - 1; 1 - 4; -2 - 3) = (2; -3; -5)$.

Пусть искомая вершина $D$ имеет координаты $(x_D; y_D; z_D)$. Тогда координаты вектора $\vec{AD}$, зная координаты точки $A(-2; -3; 1)$, будут:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (x_D - (-2); y_D - (-3); z_D - 1) = (x_D + 2; y_D + 3; z_D - 1)$.

Теперь подставим найденные координаты векторов в равенство $\vec{AD} = 5 \cdot \vec{BC}$:

$(x_D + 2; y_D + 3; z_D - 1) = 5 \cdot (2; -3; -5)$

$(x_D + 2; y_D + 3; z_D - 1) = (10; -15; -25)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Приравнивая их, получаем систему уравнений:

$x_D + 2 = 10$
$y_D + 3 = -15$
$z_D - 1 = -25$

Решая эту систему, находим координаты точки $D$:

$x_D = 10 - 2 = 8$
$y_D = -15 - 3 = -18$
$z_D = -25 + 1 = -24$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(8; -18; -24)$.

Ответ: $D(8; -18; -24)$.

3.47. Известны координаты вершин $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$. Найдите координаты вершины $D$, если:

1) $A(2; -1; 1)$, $B(3; -1; 1)$, $C(0; 2; -3);$

2) $A(3; 1; -1)$, $B(2; -1; 1)$, $C(-2; 0; 3);$

3) $A(2; -1; 0)$, $B(-1; 3; 1)$, $C(0; 1; -1).$

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма ABCD, зная координаты трех других, можно использовать свойство диагоналей. В любом параллелограмме диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Следовательно, середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD.

Пусть координаты вершин заданы как $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$, а координаты искомой вершины — $D(x_D, y_D, z_D)$.

Формула для нахождения координат середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ имеет вид $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$.

Приравнивая координаты середин диагоналей AC и BD, получаем:

$\frac{x_A+x_C}{2} = \frac{x_B+x_D}{2} \implies x_A+x_C = x_B+x_D$

$\frac{y_A+y_C}{2} = \frac{y_B+y_D}{2} \implies y_A+y_C = y_B+y_D$

$\frac{z_A+z_C}{2} = \frac{z_B+z_D}{2} \implies z_A+z_C = z_B+z_D$

Из этих равенств выразим координаты вершины D:

$x_D = x_A + x_C - x_B$

$y_D = y_A + y_C - y_B$

$z_D = z_A + z_C - z_B$

Теперь решим задачу для каждого из заданных случаев.

1) Даны координаты вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(3; -1; 1)$, $C(0; 2; -3)$.

Находим координаты вершины D, используя полученные формулы:

$x_D = 2 + 0 - 3 = -1$

$y_D = -1 + 2 - (-1) = -1 + 2 + 1 = 2$

$z_D = 1 + (-3) - 1 = 1 - 3 - 1 = -3$

Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(-1; 2; -3)$.

Ответ: $D(-1; 2; -3)$.

2) Даны координаты вершин: $A(3; 1; -1)$, $B(2; -1; 1)$, $C(-2; 0; 3)$.

Находим координаты вершины D:

$x_D = 3 + (-2) - 2 = 3 - 2 - 2 = -1$

$y_D = 1 + 0 - (-1) = 1 + 1 = 2$

$z_D = -1 + 3 - 1 = 1$

Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(-1; 2; 1)$.

Ответ: $D(-1; 2; 1)$.

3) Даны координаты вершин: $A(2; -1; 0)$, $B(-1; 3; 1)$, $C(0; 1; -1)$.

Находим координаты вершины D:

$x_D = 2 + 0 - (-1) = 2 + 1 = 3$

$y_D = -1 + 1 - 3 = -3$

$z_D = 0 + (-1) - 1 = -2$

Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(3; -3; -2)$.

Ответ: $D(3; -3; -2)$.

3.48. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, если $A(1; 3; 2)$, $B(0; 2; 4)$, $C(1; 1; 4)$, $D(2; 2; 2)$.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, можно использовать один из признаков параллелограмма. Например, четырехугольник является параллелограммом, если векторы его противоположных сторон равны.

Докажем, что вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора определяются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

Начало вектора - точка A(1; 3; 2), конец - точка B(0; 2; 4).

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 1; 2 - 3; 4 - 2) = (-1; -1; 2)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{DC}$.

Начало вектора - точка D(2; 2; 2), конец - точка C(1; 1; 4).

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (1 - 2; 1 - 2; 4 - 2) = (-1; -1; 2)$.

3. Сравним полученные векторы.

$\vec{AB} = (-1; -1; 2)$

$\vec{DC} = (-1; -1; 2)$

Поскольку соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, то сами векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов означает, что они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны. Следовательно, отрезки AB и DC параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Альтернативный способ:

Можно доказать, что диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Для этого нужно найти координаты середин диагоналей AC и BD и убедиться, что они совпадают.

Координаты середины отрезка находятся по формуле $M(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2}; \frac{z_1+z_2}{2})$.

Середина диагонали AC: $M_{AC} = (\frac{1+1}{2}; \frac{3+1}{2}; \frac{2+4}{2}) = (\frac{2}{2}; \frac{4}{2}; \frac{6}{2}) = (1; 2; 3)$.

Середина диагонали BD: $M_{BD} = (\frac{0+2}{2}; \frac{2+2}{2}; \frac{4+2}{2}) = (\frac{2}{2}; \frac{4}{2}; \frac{6}{2}) = (1; 2; 3)$.

Так как координаты середин диагоналей AC и BD совпадают, то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

3.49. Найдите m и n, если векторы $\vec{a} = (m; 3; 2)$ и $\vec{b} = (4; n; 1)$ коллинеарны.

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.Даны векторы $\vec{a} = (m; 3; 2)$ и $\vec{b} = (4; n; 1)$.Условие их коллинеарности можно записать в виде пропорции:

$\frac{m}{4} = \frac{3}{n} = \frac{2}{1}$

Из этой пропорции мы можем составить систему уравнений для нахождения $m$ и $n$. Сначала найдем значение этого отношения из известных координат (в данном случае, третьих):

$\frac{2}{1} = 2$

Теперь мы можем использовать это значение для нахождения неизвестных $m$ и $n$.

1. Найдем $m$:

$\frac{m}{4} = 2$

$m = 2 \cdot 4$

$m = 8$

2. Найдем $n$:

$\frac{3}{n} = 2$

$2n = 3$

$n = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, для того чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были коллинеарны, необходимо, чтобы $m=8$ и $n=1,5$.

Ответ: $m = 8$, $n = 1,5$.

3.50. При каких значениях $x$ и $y$ векторы $\vec{p} = (x; y; 4)$ и $\vec{q} = (1; 3; 2)$ коллинеарны?

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что для векторов $\vec{p} = (x; y; 4)$ и $\vec{q} = (1; 3; 2)$ выполняется равенство $\vec{p} = k \cdot \vec{q}$.

Запишем это условие в виде системы уравнений для координат векторов:

$x = k \cdot 1$

$y = k \cdot 3$

$4 = k \cdot 2$

Из третьего уравнения найдем значение коэффициента $k$:

$k = \frac{4}{2} = 2$

Теперь, зная $k$, мы можем найти значения $x$ и $y$, подставив $k=2$ в первое и второе уравнения системы.

Для координаты $x$:

$x = 2 \cdot 1 = 2$

Для координаты $y$:

$y = 2 \cdot 3 = 6$

Таким образом, векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ коллинеарны при $x=2$ и $y=6$.

Проверить это можно также, составив пропорцию из координат векторов:

$\frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{4}{2}$

Из равенства $\frac{x}{1} = \frac{4}{2}$ следует, что $\frac{x}{1} = 2$, откуда $x = 2$.

Из равенства $\frac{y}{3} = \frac{4}{2}$ следует, что $\frac{y}{3} = 2$, откуда $y = 6$.

Ответ: $x=2, y=6$.

3.51. Покажите, что параллелограмм, построенный на векторах $\vec{a} = (1; 2; 3)$ и $\vec{b} = (3; 2; 1)$, является ромбом.

Параллелограмм, построенный на векторах, является ромбом в том случае, если длины этих векторов равны, так как они представляют собой смежные стороны параллелограмма. Для доказательства того, что параллелограмм, построенный на векторах $\vec{a} = (1; 2; 3)$ и $\vec{b} = (3; 2; 1)$, является ромбом, необходимо показать, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Длина (модуль) вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Вычислим длину вектора $\vec{a}$:$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Вычислим длину вектора $\vec{b}$:$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.

Поскольку $|\vec{a}| = \sqrt{14}$ и $|\vec{b}| = \sqrt{14}$, мы видим, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.Так как длины смежных сторон параллелограмма равны, этот параллелограмм является ромбом.

Ответ: Длины векторов равны ($|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{14}$), следовательно, параллелограмм, построенный на данных векторах, является ромбом, что и требовалось доказать.

3.52. По данным задачи 3.51 найдите длины диагоналей ромба.

Для решения задачи воспользуемся данными из задачи 3.51. Предположим, что в задаче 3.51 дан ромб $ABCD$, у которого высота $BH$, проведенная из вершины тупого угла $B$ к стороне $AD$, делит эту сторону на отрезки $AH = m$ и $HD = n$, считая от вершины острого угла $A$. Требуется найти длины диагоналей ромба $d_1 = BD$ и $d_2 = AC$.

Нахождение стороны ромба

По определению ромба все его стороны равны. Обозначим длину стороны ромба как $a$. Так как точка $H$ лежит на стороне $AD$, то длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HD$.

$a = AD = AH + HD = m + n$.

Следовательно, все стороны ромба равны $a = m+n$.

Нахождение первой диагонали $d_1 = BD$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Его катеты - это высота $BH$ и отрезок $HD$. Гипотенуза - диагональ $BD$. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

Нам известна длина $HD = n$. Необходимо найти длину высоты $BH$. Для этого рассмотрим другой прямоугольный треугольник - $ABH$. Его катеты - $AH$ и $BH$, а гипотенуза - сторона ромба $AB$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения: $AB = a = m+n$ и $AH = m$.

$(m+n)^2 = m^2 + BH^2$

Выразим $BH^2$:

$BH^2 = (m+n)^2 - m^2 = (m^2 + 2mn + n^2) - m^2 = 2mn + n^2$.

Теперь вернемся к треугольнику $BHD$ и найдем квадрат диагонали $BD$:

$d_1^2 = BD^2 = BH^2 + HD^2 = (2mn + n^2) + n^2 = 2mn + 2n^2 = 2n(m+n)$.

Таким образом, длина первой диагонали:

$d_1 = \sqrt{2n(m+n)}$.

Нахождение второй диагонали $d_2 = AC$

Для нахождения второй диагонали воспользуемся свойством параллелограмма (и ромба в частности), согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:

$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Мы уже нашли $d_1^2 = 2n(m+n)$ и знаем, что $a = m+n$. Подставим эти значения в формулу:

$2n(m+n) + d_2^2 = 4(m+n)^2$

Выразим отсюда $d_2^2$:

$d_2^2 = 4(m+n)^2 - 2n(m+n)$

Вынесем общий множитель $2(m+n)$ за скобки:

$d_2^2 = 2(m+n) \cdot [2(m+n) - n]$

Упростим выражение в скобках:

$d_2^2 = 2(m+n)(2m + 2n - n) = 2(m+n)(2m+n)$.

Следовательно, длина второй диагонали:

$d_2 = \sqrt{2(m+n)(2m+n)}$.

Ответ: Длины диагоналей ромба равны $d_1 = \sqrt{2n(m+n)}$ и $d_2 = \sqrt{2(m+n)(2m+n)}$.

3.53. Покажите, что параллелограмм, построенный на векторах $ \vec{p} = (1; 2; -3) $ и $ \vec{q} = (3; 3; 3) $, является прямоугольником.

Чтобы доказать, что параллелограмм, построенный на векторах $\vec{p} = (1; 2; -3)$ и $\vec{q} = (3; 3; 3)$, является прямоугольником, необходимо и достаточно показать, что его смежные стороны перпендикулярны. В данном случае, это означает, что векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ должны быть перпендикулярны друг другу.

Условием перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения нулю.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ в координатной форме вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

Применим эту формулу для векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (1 \cdot 3) + (2 \cdot 3) + ((-3) \cdot 3)$

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 3 + 6 - 9$

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ равно нулю, это означает, что угол между ними составляет $90^\circ$, то есть они перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого смежные стороны перпендикулярны, по определению является прямоугольником. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Скалярное произведение данных векторов равно нулю ($\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$), следовательно, они перпендикулярны. Это доказывает, что параллелограмм, построенный на этих векторах, является прямоугольником.

3.54. Даны векторы $ \vec{a} = (5; -2; -3) $, $ \vec{b} = (2; 3; -5) $. Покажите, что параллелограмм, построенный на векторах $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $, является прямоугольником.

Для того чтобы доказать, что параллелограмм, построенный на векторах $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$, является прямоугольником, необходимо показать, что эти векторы-стороны перпендикулярны. Два вектора являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a} = (5; -2; -3)$ и $\vec{b} = (2; 3; -5)$.

Сначала найдем координаты векторов, которые будут являться сторонами параллелограмма.
Первая сторона - это вектор-сумма $\vec{a} + \vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = (5+2; -2+3; -3+(-5)) = (7; 1; -8)$.

Вторая сторона - это вектор-разность $\vec{a} - \vec{b}$:
$\vec{a} - \vec{b} = (5-2; -2-3; -3-(-5)) = (3; -5; 2)$.

Теперь вычислим скалярное произведение полученных векторов $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$. Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (7; 1; -8) \cdot (3; -5; 2) = 7 \cdot 3 + 1 \cdot (-5) + (-8) \cdot 2 = 21 - 5 - 16 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов, на которых построен параллелограмм, равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Параллелограмм, у которого смежные стороны перпендикулярны, является прямоугольником.

Ответ: Скалярное произведение векторов $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$ равно 0. Это доказывает, что векторы перпендикулярны, и, следовательно, построенный на них параллелограмм является прямоугольником.

3.55. Даны векторы $\vec{a} = (1; 2; -3)$, $\vec{b} = (0; 3; 1)$, $\vec{c} = (2; 5; 2)$ и $\vec{d} = (4; 0; -7)$. Найдите числа $x, y, z$, чтобы $\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$.

Для того чтобы найти числа $x, y, z$, необходимо представить векторное равенство $\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ в виде системы уравнений, приравняв соответствующие координаты векторов.

Подставим заданные координаты векторов в равенство:

$(4; 0; -7) = x(1; 2; -3) + y(0; 3; 1) + z(2; 5; 2)$

Выполним операции умножения скаляров на векторы и сложения векторов в правой части уравнения:

$(4; 0; -7) = (1x; 2x; -3x) + (0y; 3y; 1y) + (2z; 5z; 2z)$

$(4; 0; -7) = (x + 0y + 2z; 2x + 3y + 5z; -3x + y + 2z)$

Теперь приравняем соответствующие компоненты векторов, чтобы получить систему линейных уравнений:

$\begin{cases}x + 2z = 4 \\2x + 3y + 5z = 0 \\-3x + y + 2z = -7\end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$ через $z$:

$x = 4 - 2z$

Подставим это выражение во второе и третье уравнения системы.

Во второе уравнение:

$2(4 - 2z) + 3y + 5z = 0$

$8 - 4z + 3y + 5z = 0$

$3y + z = -8$

В третье уравнение:

$-3(4 - 2z) + y + 2z = -7$

$-12 + 6z + y + 2z = -7$

$y + 8z = 5$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными $y$ и $z$:

$\begin{cases}3y + z = -8 \\y + 8z = 5\end{cases}$

Из второго уравнения этой новой системы выразим $y$:

$y = 5 - 8z$

Подставим это выражение в первое уравнение ($3y + z = -8$):

$3(5 - 8z) + z = -8$

$15 - 24z + z = -8$

$15 - 23z = -8$

$-23z = -23$

$z = 1$

Теперь, зная $z$, мы можем найти $y$:

$y = 5 - 8(1) = 5 - 8 = -3$

И, наконец, найдем $x$, используя ранее полученное выражение $x = 4 - 2z$:

$x = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2$

Таким образом, мы нашли искомые числа.

Ответ: $x=2$, $y=-3$, $z=1$.