Страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как определяется угол между векторами?

2. Что такое скалярное произведение векторов?

3. Напишите формулу скалярного произведения в координатах.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

4. Напишите условие ортогональности векторов.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

5. Напишите формулу косинуса угла между векторами.

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

6. Напишите формулу деления отрезка в данном отношении.

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$, $z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$

7. Как найти координаты середины отрезка?

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$, $z = \frac{z_1 + z_2}{2}$

1. Как определяется угол между векторами?

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол $\phi$ между их направлениями. Чтобы найти этот угол, векторы откладывают (совмещают их начала) от одной произвольной точки O. Тогда угол между лучами, на которых лежат векторы, и будет искомым углом. На рисунке показаны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенные от точки O, и угол $\phi$ между ними.

Величина угла $\phi$ может принимать значения в диапазоне от 0 до $\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $180^\circ$). Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними не определён.

Ответ: Угол между двумя ненулевыми векторами — это наименьший угол между их направлениями, когда они отложены от одной точки. Он находится в диапазоне $[0, \pi]$.

2. Что такое скалярное произведение векторов?

Скалярным произведением (или внутренним произведением) двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла $\phi$ между ними. Обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$.

Формула скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\phi$.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

Геометрически скалярное произведение можно также определить как произведение длины одного вектора на проекцию другого вектора на его направление: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot \text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = |\vec{b}| \cdot \text{пр}_{\vec{b}}\vec{a}$.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\phi$.

3. Напишите формулу скалярного произведения в координатах.

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат, то их скалярное произведение равно сумме произведений их соответствующих координат.

Для векторов на плоскости $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$ формула имеет вид:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Для векторов в трехмерном пространстве $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ формула имеет вид:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

Ответ: Для векторов $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ в пространстве: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.

4. Напишите условие ортогональности векторов.

Два вектора называются ортогональными (или перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$ ($\pi/2$ радиан). Поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, из определения скалярного произведения ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\phi$) следует, что скалярное произведение ортогональных ненулевых векторов равно нулю.

Это условие является необходимым и достаточным. Таким образом, два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

В координатах для векторов $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ условие ортогональности выглядит так:

$x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$

Ответ: Условие ортогональности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это равенство их скалярного произведения нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

5. Напишите формулу косинуса угла между векторами.

Формула для нахождения косинуса угла между двумя ненулевыми векторами выводится непосредственно из определения скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\phi$.

Выражая из этой формулы косинус угла $\phi$, получаем:

$\cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Если подставить в эту формулу выражения для скалярного произведения и модулей векторов, заданных в координатах $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$, то получим:

$\cos\phi = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Ответ: $\cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$.

6. Напишите формулу деления отрезка в данном отношении.

Пусть дан отрезок, концы которого находятся в точках $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Если точка $C(x, y, z)$ делит этот отрезок в отношении $\lambda$, то есть выполняется условие $\frac{AC}{CB} = \lambda$, то ее координаты можно найти по следующим формулам.

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$
$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$
$z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$

Эти формулы справедливы для любого значения $\lambda$, кроме $\lambda = -1$. Для двумерного случая (на плоскости) координата $z$ просто опускается.

Ответ: Координаты точки $C(x, y, z)$, делящей отрезок $AB$ с концами $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ в отношении $\frac{AC}{CB} = \lambda$, вычисляются как: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$, $z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$.

7. Как найти координаты середины отрезка?

Нахождение координат середины отрезка является частным случаем задачи о делении отрезка в данном отношении. Середина отрезка делит его на две равные части, следовательно, отношение $\frac{AC}{CB} = \lambda = 1$.

Подставив значение $\lambda=1$ в общие формулы деления отрезка в данном отношении, получим формулы для координат середины отрезка $C(x_c, y_c, z_c)$ с концами в точках $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$:

$x_c = \frac{x_1 + 1 \cdot x_2}{1 + 1} = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_c = \frac{y_1 + 1 \cdot y_2}{1 + 1} = \frac{y_1 + y_2}{2}$
$z_c = \frac{z_1 + 1 \cdot z_2}{1 + 1} = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Ответ: Координаты $(x_c, y_c, z_c)$ середины отрезка с концами в точках $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ находятся по формулам: $x_c = \frac{x_1+x_2}{2}$, $y_c = \frac{y_1+y_2}{2}$, $z_c = \frac{z_1+z_2}{2}$.

3.67. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=\varphi$, если:

1) $\vert \vec{a} \vert = 3, \vert \vec{b} \vert = \sqrt{2}, \varphi = 45^{\circ};$

2) $\vert \vec{a} \vert = 0,5, \vert \vec{b} \vert = 16, \varphi = 60^{\circ};$

3) $\vert \vec{a} \vert = \sqrt{3}, \vert \vec{b} \vert = 3, \varphi = 30^{\circ};$

4) $\vert \vec{a} \vert = 4, \vert \vec{b} \vert = 3, \varphi = 120^{\circ}.$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — модули (длины) векторов, а $\varphi$ — угол между ними.

1) Дано: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\varphi = 45^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$
Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 3 \cdot \frac{2}{2} = 3$.
Ответ: 3.

2) Дано: $|\vec{a}| = 0,5$, $|\vec{b}| = 16$, $\varphi = 60^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0,5 \cdot 16 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0,5 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
Ответ: 4.

3) Дано: $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 3$, $\varphi = 30^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos(30^\circ)$
Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = 3 \cdot \frac{3}{2} = 4,5$.
Ответ: 4,5.

4) Дано: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 3$, $\varphi = 120^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$
Так как $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 12 \cdot (-\frac{1}{2}) = -6$.
Ответ: -6.

3.68. Даны векторы $\vec{a} = (2; -1; 0)$, $\vec{b} = (1; \sqrt{2}; -5)$, $\vec{c} = (1; 2; 5)$, $\vec{d} = (1; 0; 2)$. Вычислите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

2) $\vec{a} \cdot \vec{c}$

3) $\sqrt{\vec{b}^2}$

4) $(\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + \vec{c})$

5) $(\vec{a} - \vec{d})^2$

6) $\vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{a}$

7) $(\vec{a} + \vec{d})(\vec{b} - \vec{c})$

8) $(\vec{a} + \vec{b})(\vec{c} - \vec{d})$

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$
Скалярное произведение векторов вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат. Для векторов $\vec{a}=(2; -1; 0)$ и $\vec{b}=(1; \sqrt{2}; -5)$ имеем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot (-5) = 2 - \sqrt{2} + 0 = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

2) $\vec{a} \cdot \vec{c}$
Аналогично, для векторов $\vec{a}=(2; -1; 0)$ и $\vec{c}=(1; 2; 5)$:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 5 = 2 - 2 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

3) $\sqrt{\vec{b}^2}$
Выражение $\sqrt{\vec{b}^2}$ равно длине (модулю) вектора $\vec{b}$, то есть $|\vec{b}|$. Длина вектора вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Сначала найдем скалярный квадрат $\vec{b}^2 = \vec{b} \cdot \vec{b}$.
$\vec{b}^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 + (-5)^2 = 1 + 2 + 25 = 28$.
Тогда $\sqrt{\vec{b}^2} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Ответ: $2\sqrt{7}$.

4) $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+\vec{c})$
Сначала найдем координаты векторов $(\vec{a}-\vec{b})$ и $(\vec{a}+\vec{c})$.
$\vec{a} - \vec{b} = (2-1; -1-\sqrt{2}; 0-(-5)) = (1; -1-\sqrt{2}; 5)$.
$\vec{a} + \vec{c} = (2+1; -1+2; 0+5) = (3; 1; 5)$.
Теперь вычислим их скалярное произведение:
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{c}) = 1 \cdot 3 + (-1-\sqrt{2}) \cdot 1 + 5 \cdot 5 = 3 - 1 - \sqrt{2} + 25 = 27 - \sqrt{2}$.
Ответ: $27 - \sqrt{2}$.

5) $(\vec{a}-\vec{d})^2$
Сначала найдем вектор $(\vec{a}-\vec{d})$.
$\vec{a} - \vec{d} = (2-1; -1-0; 0-2) = (1; -1; -2)$.
Скалярный квадрат вектора $(\vec{a}-\vec{d})^2$ равен сумме квадратов его координат:
$(\vec{a}-\vec{d})^2 = 1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
Ответ: $6$.

6) $\vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{a}$
Вычислим каждое скалярное произведение отдельно. Учтем, что скалярное произведение коммутативно, т.е. $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$, и это значение было найдено в пункте 1: $2 - \sqrt{2}$.
Вычислим $\vec{c} \cdot \vec{d}$:
$\vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 1 + 0 + 10 = 11$.
Сложим результаты:
$\vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 11 + (2 - \sqrt{2}) = 13 - \sqrt{2}$.
Ответ: $13 - \sqrt{2}$.

7) $(\vec{a}+\vec{d})(\vec{b}-\vec{c})$
Сначала найдем координаты векторов $(\vec{a}+\vec{d})$ и $(\vec{b}-\vec{c})$.
$\vec{a} + \vec{d} = (2+1; -1+0; 0+2) = (3; -1; 2)$.
$\vec{b} - \vec{c} = (1-1; \sqrt{2}-2; -5-5) = (0; \sqrt{2}-2; -10)$.
Теперь вычислим их скалярное произведение:
$(\vec{a}+\vec{d}) \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot (\sqrt{2}-2) + 2 \cdot (-10) = 0 - \sqrt{2} + 2 - 20 = -18 - \sqrt{2}$.
Ответ: $-18 - \sqrt{2}$.

8) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{c}-\vec{d})$
Сначала найдем координаты векторов $(\vec{a}+\vec{b})$ и $(\vec{c}-\vec{d})$.
$\vec{a} + \vec{b} = (2+1; -1+\sqrt{2}; 0+(-5)) = (3; \sqrt{2}-1; -5)$.
$\vec{c} - \vec{d} = (1-1; 2-0; 5-2) = (0; 2; 3)$.
Теперь вычислим их скалярное произведение:
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{c}-\vec{d}) = 3 \cdot 0 + (\sqrt{2}-1) \cdot 2 + (-5) \cdot 3 = 0 + 2\sqrt{2} - 2 - 15 = 2\sqrt{2} - 17$.
Ответ: $2\sqrt{2} - 17$.

3.69. Какие из векторов $ \vec{a}=(2; 3; 1) $, $ \vec{b}=(5; 9; 2) $, $ \vec{c}=(-3; 1; 3) $ попарно перпендикулярны?

Два вектора являются перпендикулярными (или ортогональными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Для векторов $\vec{u}=(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{v}=(x_2; y_2; z_2)$ скалярное произведение вычисляется по формуле:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Даны векторы $\vec{a}=(2; 3; 1)$, $\vec{b}=(5; 9; 2)$ и $\vec{c}=(-3; 1; 3)$. Проверим попарно их скалярные произведения.

Проверка векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 9 + 1 \cdot 2 = 10 + 27 + 2 = 39$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не перпендикулярны.

Проверка векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = -6 + 3 + 3 = 0$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны.

Проверка векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{b} \cdot \vec{c} = 5 \cdot (-3) + 9 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -15 + 9 + 6 = 0$

Так как $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярными являются пары векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$, а также $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

3.70. Даны точки $A(5; 2; 1)$, $B(-3; 4; 0)$, $C(3; 0; 4)$, $D(1; -4; 3)$. Вычислите скалярное произведение:

1) $\overline{AB} \cdot \overline{AC}$;

2) $\overline{AC} \cdot \overline{BD}$;

3) $\overline{AD} \cdot \overline{BC}$;

4) $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$.

Для решения задачи сначала найдем координаты необходимых векторов, а затем вычислим их скалярное произведение. Координаты вектора, заданного начальной точкой $P(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точкой $Q(x_2, y_2, z_2)$, вычисляются по формуле $\overline{PQ} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$. Скалярное произведение двух векторов $\overline{a}=(a_x; a_y; a_z)$ и $\overline{b}=(b_x; b_y; b_z)$ находится по формуле $\overline{a} \cdot \overline{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Исходные данные: точки A(5; 2; 1), B(-3; 4; 0), C(3; 0; 4), D(1; -4; 3).

Найдем координаты векторов, необходимых для вычислений:

$\overline{AB} = (-3 - 5; 4 - 2; 0 - 1) = (-8; 2; -1)$

$\overline{AC} = (3 - 5; 0 - 2; 4 - 1) = (-2; -2; 3)$

$\overline{AD} = (1 - 5; -4 - 2; 3 - 1) = (-4; -6; 2)$

$\overline{BC} = (3 - (-3); 0 - 4; 4 - 0) = (6; -4; 4)$

$\overline{BD} = (1 - (-3); -4 - 4; 3 - 0) = (4; -8; 3)$

$\overline{CD} = (1 - 3; -4 - 0; 3 - 4) = (-2; -4; -1)$

Теперь вычислим скалярные произведения для каждого пункта.

1) $\overline{AB} \cdot \overline{AC}$ ;
Используем координаты векторов $\overline{AB}=(-8; 2; -1)$ и $\overline{AC}=(-2; -2; 3)$.
$\overline{AB} \cdot \overline{AC} = (-8) \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = 16 - 4 - 3 = 9$.
Ответ: 9.

2) $\overline{AC} \cdot \overline{BD}$ ;
Используем координаты векторов $\overline{AC}=(-2; -2; 3)$ и $\overline{BD}=(4; -8; 3)$.
$\overline{AC} \cdot \overline{BD} = (-2) \cdot 4 + (-2) \cdot (-8) + 3 \cdot 3 = -8 + 16 + 9 = 17$.
Ответ: 17.

3) $\overline{AD} \cdot \overline{BC}$ ;
Используем координаты векторов $\overline{AD}=(-4; -6; 2)$ и $\overline{BC}=(6; -4; 4)$.
$\overline{AD} \cdot \overline{BC} = (-4) \cdot 6 + (-6) \cdot (-4) + 2 \cdot 4 = -24 + 24 + 8 = 8$.
Ответ: 8.

4) $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ .
Используем координаты векторов $\overline{AB}=(-8; 2; -1)$ и $\overline{CD}=(-2; -4; -1)$.
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-8) \cdot (-2) + 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot (-1) = 16 - 8 + 1 = 9$.
Ответ: 9.