Номер 3.70, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.70. Даны точки $A(5; 2; 1)$, $B(-3; 4; 0)$, $C(3; 0; 4)$, $D(1; -4; 3)$. Вычислите скалярное произведение:

1) $\overline{AB} \cdot \overline{AC}$;

2) $\overline{AC} \cdot \overline{BD}$;

3) $\overline{AD} \cdot \overline{BC}$;

4) $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$.

Для решения задачи сначала найдем координаты необходимых векторов, а затем вычислим их скалярное произведение. Координаты вектора, заданного начальной точкой $P(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точкой $Q(x_2, y_2, z_2)$, вычисляются по формуле $\overline{PQ} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$. Скалярное произведение двух векторов $\overline{a}=(a_x; a_y; a_z)$ и $\overline{b}=(b_x; b_y; b_z)$ находится по формуле $\overline{a} \cdot \overline{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Исходные данные: точки A(5; 2; 1), B(-3; 4; 0), C(3; 0; 4), D(1; -4; 3).

Найдем координаты векторов, необходимых для вычислений:

$\overline{AB} = (-3 - 5; 4 - 2; 0 - 1) = (-8; 2; -1)$

$\overline{AC} = (3 - 5; 0 - 2; 4 - 1) = (-2; -2; 3)$

$\overline{AD} = (1 - 5; -4 - 2; 3 - 1) = (-4; -6; 2)$

$\overline{BC} = (3 - (-3); 0 - 4; 4 - 0) = (6; -4; 4)$

$\overline{BD} = (1 - (-3); -4 - 4; 3 - 0) = (4; -8; 3)$

$\overline{CD} = (1 - 3; -4 - 0; 3 - 4) = (-2; -4; -1)$

Теперь вычислим скалярные произведения для каждого пункта.

1) $\overline{AB} \cdot \overline{AC}$ ;
Используем координаты векторов $\overline{AB}=(-8; 2; -1)$ и $\overline{AC}=(-2; -2; 3)$.
$\overline{AB} \cdot \overline{AC} = (-8) \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = 16 - 4 - 3 = 9$.
Ответ: 9.

2) $\overline{AC} \cdot \overline{BD}$ ;
Используем координаты векторов $\overline{AC}=(-2; -2; 3)$ и $\overline{BD}=(4; -8; 3)$.
$\overline{AC} \cdot \overline{BD} = (-2) \cdot 4 + (-2) \cdot (-8) + 3 \cdot 3 = -8 + 16 + 9 = 17$.
Ответ: 17.

3) $\overline{AD} \cdot \overline{BC}$ ;
Используем координаты векторов $\overline{AD}=(-4; -6; 2)$ и $\overline{BC}=(6; -4; 4)$.
$\overline{AD} \cdot \overline{BC} = (-4) \cdot 6 + (-6) \cdot (-4) + 2 \cdot 4 = -24 + 24 + 8 = 8$.
Ответ: 8.

4) $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ .
Используем координаты векторов $\overline{AB}=(-8; 2; -1)$ и $\overline{CD}=(-2; -4; -1)$.
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-8) \cdot (-2) + 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot (-1) = 16 - 8 + 1 = 9$.
Ответ: 9.