Номер 3.66, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.66. Даны точки A(1; -2; 3) и B(2; 0; -2). Найдите координаты единичного вектора, коллинеарного биссектрисе угла AOB.

Для нахождения координат единичного вектора, коллинеарного биссектрисе угла $AOB$, мы используем свойство, согласно которому вектор биссектрисы коллинеарен сумме единичных векторов, образующих стороны угла. Вершина угла $AOB$ находится в начале координат $O(0; 0; 0)$.

Сначала определим векторы, образующие угол, $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.
$\vec{OA} = (1 - 0; -2 - 0; 3 - 0) = (1; -2; 3)$.
$\vec{OB} = (2 - 0; 0 - 0; -2 - 0) = (2; 0; -2)$.

Затем найдем длины (модули) этих векторов.
$|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
$|\vec{OB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Направляющий вектор биссектрисы угла коллинеарен сумме единичных векторов (ортов) $\vec{e}_{OA}$ и $\vec{e}_{OB}$.
$\vec{e}_{OA} = \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|} = \frac{1}{\sqrt{14}}(1; -2; 3)$.
$\vec{e}_{OB} = \frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2; 0; -2) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1; 0; -1)$.

Вектор $\vec{c}$, направленный по биссектрисе, коллинеарен сумме $\vec{e}_{OA} + \vec{e}_{OB}$. Для удобства вычислений возьмем вектор $\vec{s}$, коллинеарный этой сумме, который получается домножением на $\sqrt{14}$ для избавления от знаменателей:
$\vec{s} = \sqrt{14} (\vec{e}_{OA} + \vec{e}_{OB}) = \sqrt{14} \left( \frac{1}{\sqrt{14}}(1; -2; 3) + \frac{1}{\sqrt{2}}(1; 0; -1) \right)$
$\vec{s} = (1; -2; 3) + \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}(1; 0; -1) = (1; -2; 3) + \sqrt{7}(1; 0; -1)$
$\vec{s} = (1; -2; 3) + (\sqrt{7}; 0; -\sqrt{7}) = (1 + \sqrt{7}; -2; 3 - \sqrt{7})$.

Теперь найдем длину вектора $\vec{s}$, чтобы затем его нормировать.
$|\vec{s}|^2 = (1 + \sqrt{7})^2 + (-2)^2 + (3 - \sqrt{7})^2$
$|\vec{s}|^2 = (1 + 2\sqrt{7} + 7) + 4 + (9 - 6\sqrt{7} + 7)$
$|\vec{s}|^2 = 8 + 2\sqrt{7} + 4 + 16 - 6\sqrt{7} = 28 - 4\sqrt{7}$.
$|\vec{s}| = \sqrt{28 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{4(7 - \sqrt{7})} = 2\sqrt{7 - \sqrt{7}}$.

Искомый единичный вектор $\vec{u}$ равен $\frac{\vec{s}}{|\vec{s}|}$.
$\vec{u} = \frac{1}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}}(1 + \sqrt{7}; -2; 3 - \sqrt{7})$.
Координаты этого вектора:
$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}}$
$y = \frac{-2}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}} = -\frac{1}{\sqrt{7 - \sqrt{7}}}$
$z = \frac{3 - \sqrt{7}}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}}$

Ответ: Координаты единичного вектора, коллинеарного биссектрисе угла $AOB$, равны $\left( \frac{1 + \sqrt{7}}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}}; -\frac{1}{\sqrt{7 - \sqrt{7}}}; \frac{3 - \sqrt{7}}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}} \right)$.