Номер 3.61, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.61. Лежат ли точки $A(-2; 4; 3)$, $B(4; -2; 3)$, $C(0; 6; 7)$ и $O(0; 0; 0)$ в одной плоскости?

Для проверки, лежат ли четыре точки A(-2; 4; 3), B(4; -2; 3), C(0; 6; 7) и O(0; 0; 0) в одной плоскости, необходимо проверить компланарность трех векторов, построенных на этих точках. Если три вектора, выходящие из одной общей точки (например, O) к трем другим точкам (A, B, C), компланарны, то все четыре точки лежат в одной плоскости. Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

1. Определение векторов

Найдем координаты векторов $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$, выбрав точку O(0; 0; 0) в качестве начала:

$\vec{OA} = (-2 - 0; 4 - 0; 3 - 0) = (-2; 4; 3)$

$\vec{OB} = (4 - 0; -2 - 0; 3 - 0) = (4; -2; 3)$

$\vec{OC} = (0 - 0; 6 - 0; 7 - 0) = (0; 6; 7)$

2. Вычисление смешанного произведения

Смешанное произведение векторов $(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})$ вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

$(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}) = \begin{vmatrix} -2 & 4 & 3 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

Раскроем определитель по первому столбцу:

$= -2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}$

$= -2 ((-2) \cdot 7 - 3 \cdot 6) - 4 (4 \cdot 7 - 3 \cdot 0) + 0$

$= -2 (-14 - 18) - 4 (28 - 0)$

$= -2 (-32) - 4 (28)$

$= 64 - 112 = -48$

Проверим вычисление по-другому, по правилу Саррюса (или раскрывая по первой строке):

$= -2 ((-2) \cdot 7 - 3 \cdot 6) - 4(4 \cdot 7 - 3 \cdot 0) + 3(4 \cdot 6 - (-2) \cdot 0)$

$= -2(-14 - 18) - 4(28 - 0) + 3(24 - 0)$

$= -2(-32) - 4(28) + 3(24)$

$= 64 - 112 + 72$

$= 136 - 112 = 24$

В обоих случаях результат не равен нулю. Значение определителя равно 24.

3. Вывод

Так как смешанное произведение векторов $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ не равно нулю ($24 \ne 0$), эти векторы не являются компланарными. Следовательно, точки A, B, C и O не лежат в одной плоскости.

Ответ: Нет, точки не лежат в одной плоскости.