Номер 3.62, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. Вектор $\vec{d}$ выразите через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

1) $\vec{a} = (1; 3; 5)$, $\vec{b} = (0; 4; 5)$, $\vec{c} = (7; -8; 4)$, $\vec{d} = (2; -1; 3)$;

2) $\vec{a} = (1; 2; 5)$, $\vec{b} = (-1; 6; 3)$, $\vec{c} = (0; 0; 2)$, $\vec{d} = (1; 0; 4)$.

1) Чтобы выразить вектор $\vec{d}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, необходимо найти такие действительные числа $x$, $y$ и $z$, для которых справедливо векторное равенство $\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$.
Подставим координаты данных векторов в это равенство:
$(2; -1; 3) = x(1; 3; 5) + y(0; 4; 5) + z(7; -8; 4)$
Раскроем скобки и сложим векторы в правой части:
$(2; -1; 3) = (1x; 3x; 5x) + (0y; 4y; 5y) + (7z; -8z; 4z)$
$(2; -1; 3) = (x + 7z; 3x + 4y - 8z; 5x + 5y + 4z)$
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Приравнивая их, получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $x, y, z$:
$ \begin{cases} x + 7z = 2 \\ 3x + 4y - 8z = -1 \\ 5x + 5y + 4z = 3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2 - 7z$.
Подставим это выражение для $x$ во второе и третье уравнения системы:
$ \begin{cases} 3(2 - 7z) + 4y - 8z = -1 \\ 5(2 - 7z) + 5y + 4z = 3 \end{cases} $
Упростим систему:
$ \begin{cases} 6 - 21z + 4y - 8z = -1 \\ 10 - 35z + 5y + 4z = 3 \end{cases} $
$ \begin{cases} 4y - 29z = -7 \\ 5y - 31z = -7 \end{cases} $
Решим полученную систему двух уравнений. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -4, чтобы исключить $y$:
$ \begin{cases} 20y - 145z = -35 \\ -20y + 124z = 28 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(20y - 145z) + (-20y + 124z) = -35 + 28$
$-21z = -7$
$z = \frac{-7}{-21} = \frac{1}{3}$
Теперь найдем $y$, подставив значение $z$ в уравнение $5y - 31z = -7$:
$5y - 31(\frac{1}{3}) = -7$
$5y = \frac{31}{3} - 7$
$5y = \frac{31 - 21}{3} = \frac{10}{3}$
$y = \frac{10}{3 \cdot 5} = \frac{2}{3}$
Наконец, найдем $x$ из выражения $x = 2 - 7z$:
$x = 2 - 7(\frac{1}{3}) = \frac{6}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{1}{3}$
Таким образом, мы нашли искомые коэффициенты: $x = -1/3, y = 2/3, z = 1/3$.
Ответ: $\vec{d} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

2) Поступаем аналогично первому пункту. Ищем разложение вектора $\vec{d}$ по векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ в виде $\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$.
Запишем уравнение в координатной форме:
$(1; 0; 4) = x(1; 2; 5) + y(-1; 6; 3) + z(0; 0; 2)$
$(1; 0; 4) = (x - y; 2x + 6y; 5x + 3y + 2z)$
Составим систему уравнений, приравняв соответствующие координаты:
$ \begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + 6y = 0 \\ 5x + 3y + 2z = 4 \end{cases} $
Из второго уравнения $2x + 6y = 0$ можно выразить $x$. Разделив уравнение на 2, получим $x + 3y = 0$, откуда $x = -3y$.
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(-3y) - y = 1$
$-4y = 1$
$y = -\frac{1}{4}$
Теперь найдем $x$:
$x = -3y = -3(-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4}$
Подставим найденные значения $x$ и $y$ в третье уравнение системы, чтобы найти $z$:
$5(\frac{3}{4}) + 3(-\frac{1}{4}) + 2z = 4$
$\frac{15}{4} - \frac{3}{4} + 2z = 4$
$\frac{12}{4} + 2z = 4$
$3 + 2z = 4$
$2z = 1$
$z = \frac{1}{2}$
Таким образом, коэффициенты разложения равны: $x = 3/4, y = -1/4, z = 1/2$.
Ответ: $\vec{d} = \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$