Номер 3.60, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.60. Дан треугольник $ABC$, где $A(1; 3; 2)$, $B(0; 2; 4)$, $C(1; 1; 4)$. Найдите длину высоты $AH$.

Для нахождения длины высоты AH, опущенной из вершины A на сторону BC, можно воспользоваться несколькими способами. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Способ 1: Через площадь треугольника

Этот метод является универсальным. Площадь треугольника $S_{ABC}$ можно вычислить двумя способами:

1. Как половину модуля векторного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

2. Как половину произведения длины основания на высоту, проведенную к нему:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{BC}| \cdot AH$

Приравняв эти два выражения, получим формулу для вычисления высоты AH:

$AH = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{|\vec{BC}|}$

Найдем координаты векторов, исходя из координат вершин $A(1; 3; 2)$, $B(0; 2; 4)$ и $C(1; 1; 4)$:

$\vec{AB} = \{0-1; 2-3; 4-2\} = \{-1; -1; 2\}$

$\vec{AC} = \{1-1; 1-3; 4-2\} = \{0; -2; 2\}$

$\vec{BC} = \{1-0; 1-2; 4-4\} = \{1; -1; 0\}$

Теперь вычислим векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$ с помощью определителя:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)\cdot2 - 2\cdot(-2)) - \mathbf{j}((-1)\cdot2 - 2\cdot0) + \mathbf{k}((-1)\cdot(-2) - (-1)\cdot0)$

$= \mathbf{i}(-2 + 4) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(2) = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \{2; 2; 2\}$

Далее найдем модуль (длину) полученного вектора:

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Затем найдем длину основания BC, вычислив модуль вектора $\vec{BC}$:

$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$

Наконец, подставим найденные значения в формулу для высоты AH:

$AH = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

Способ 2: Через скалярное произведение векторов

Этот способ позволяет проверить, не является ли треугольник прямоугольным, что может упростить задачу. Если угол при вершине B прямой, то высота AH совпадет с катетом AB. Проверим это, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Если оно равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Найдем координаты векторов, выходящих из вершины B:

$\vec{BA} = -\vec{AB} = -\{-1; -1; 2\} = \{1; 1; -2\}$

$\vec{BC} = \{1; -1; 0\}$

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot (-1)) + (-2 \cdot 0) = 1 - 1 + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, угол $\angle ABC$ является прямым ($90^\circ$). Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, а AB и BC — его катеты.

В таком треугольнике высота, опущенная из вершины A на прямую, содержащую катет BC, есть не что иное, как сам катет AB. Таким образом, длина высоты AH равна длине стороны AB.

Найдем длину AB (модуль вектора $\vec{AB}$):

$AH = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{6}$.