Страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.55. Даны векторы $\\vec{a} = (1; 2; -3)$, $\\vec{b} = (0; 3; 1)$, $\\vec{c} = (2; 5; 2)$ и $\\vec{d} = (4; 0; -7)$. Найдите числа $x, y, z$, чтобы $\\vec{d} = x\\vec{a} + y\\vec{b} + z\\vec{c}$.

Для решения задачи сначала найдем модули (длины) векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Модуль вектора с координатами $(a; b; c)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Для вектора $\vec{p} = (1; 2; 3)$ его модуль равен:
$|\vec{p}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Для вектора $\vec{q} = (-1; x; 2)$ его модуль равен:
$|\vec{q}| = \sqrt{(-1)^2 + x^2 + 2^2} = \sqrt{1 + x^2 + 4} = \sqrt{x^2 + 5}$.

Теперь решим два случая, указанные в условии.

1) $|\vec{p}|=|\vec{q}|$
Подставим найденные значения модулей в это равенство:
$\sqrt{14} = \sqrt{x^2 + 5}$
Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:
$(\sqrt{14})^2 = (\sqrt{x^2 + 5})^2$
$14 = x^2 + 5$
Перенесем 5 в левую часть:
$x^2 = 14 - 5$
$x^2 = 9$
Отсюда находим значения $x$:
$x = \pm \sqrt{9}$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: $x = \pm 3$.

2) $|\vec{p}|=0,5 |\vec{q}|$
Подставим значения модулей в это равенство:
$\sqrt{14} = 0,5 \sqrt{x^2 + 5}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{14})^2 = (0,5 \sqrt{x^2 + 5})^2$
$14 = 0,5^2 \cdot (\sqrt{x^2 + 5})^2$
$14 = 0,25 \cdot (x^2 + 5)$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$14 \cdot 4 = 4 \cdot 0,25 \cdot (x^2 + 5)$
$56 = 1 \cdot (x^2 + 5)$
$56 = x^2 + 5$
$x^2 = 56 - 5$
$x^2 = 51$
Отсюда находим значения $x$:
$x = \pm \sqrt{51}$.
Ответ: $x = \pm \sqrt{51}$.

3.57. Дан вектор $\vec{a}=(n; 2n; -n)$. Найдите значение $n$, если $|\vec{a}|=\sqrt{54}$.

Для нахождения значения $n$ воспользуемся формулой для вычисления модуля (длины) вектора в трехмерном пространстве. Если вектор задан координатами $\vec{a}=(a_x; a_y; a_z)$, то его модуль $|\vec{a}|$ вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

В нашем случае координаты вектора $\vec{a}$ равны $(n; 2n; -n)$. Подставим их в формулу:

$|\vec{a}| = \sqrt{n^2 + (2n)^2 + (-n)^2}$

Теперь упростим выражение под знаком корня:

$n^2 + (2n)^2 + (-n)^2 = n^2 + 4n^2 + n^2 = 6n^2$

Таким образом, модуль вектора $\vec{a}$ равен $\sqrt{6n^2}$.

По условию задачи нам дано, что $|\vec{a}| = \sqrt{54}$. Приравняем полученное нами выражение к заданному значению:

$\sqrt{6n^2} = \sqrt{54}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{6n^2})^2 = (\sqrt{54})^2$

$6n^2 = 54$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $n^2$:

$n^2 = \frac{54}{6}$

$n^2 = 9$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $n$. У этого уравнения есть два решения:

$n_1 = \sqrt{9} = 3$

$n_2 = -\sqrt{9} = -3$

Ответ: $n=3$ или $n=-3$.

3.58. Даны векторы $\vec{a} = (x; 2; 3)$ и $\vec{b} = (4; y; 6)$. При каких значениях $x$ и $y$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны?

Два ненулевых вектора являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

Даны векторы $\vec{a} = (x; 2; 3)$ и $\vec{b} = (4; y; 6)$.

Условие коллинеарности для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно записать в виде пропорции:

$\frac{4}{x} = \frac{y}{2} = \frac{6}{3}$

Из этой пропорции мы можем составить систему из двух уравнений. Сначала найдем значение отношения известных координат:

$\frac{6}{3} = 2$

Это значение является коэффициентом пропорциональности $k$. Теперь приравняем к нему остальные отношения, чтобы найти $x$ и $y$.

1. Найдем $x$:

$\frac{4}{x} = 2$

$4 = 2x$

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

2. Найдем $y$:

$\frac{y}{2} = 2$

$y = 2 \cdot 2$

$y = 4$

Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны при $x=2$ и $y=4$.

Ответ: $x = 2, y = 4$.

3.59. Являются ли компланарными векторы $\vec{a} = (1; 0; 2)$, $\vec{b} = (1; 1; -1)$, $\vec{c} = (-1; 2; 4)$?

Три вектора являются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Критерием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Если смешанное произведение не равно нулю, векторы не компланарны.

Смешанное произведение векторов $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$, $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$ и $\vec{c} = (c_x; c_y; c_z)$ вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

Для данных векторов $\vec{a} = (1; 0; 2)$, $\vec{b} = (1; 1; -1)$ и $\vec{c} = (-1; 2; 4)$ составим определитель:

$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

Вычислим этот определитель, например, разложением по первой строке:

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}$

$= 1 \cdot (1 \cdot 4 - (-1) \cdot 2) - 0 + 2 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1))$

$= 1 \cdot (4 + 2) + 2 \cdot (2 + 1)$

$= 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12$

Поскольку смешанное произведение векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 12 \neq 0$, то данные векторы не являются компланарными.

Ответ: векторы не являются компланарными.

3.60. Дан треугольник $ABC$, где $A(1; 3; 2)$, $B(0; 2; 4)$, $C(1; 1; 4)$. Найдите длину высоты $AH$.

Для нахождения длины высоты AH, опущенной из вершины A на сторону BC, можно воспользоваться несколькими способами. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Способ 1: Через площадь треугольника

Этот метод является универсальным. Площадь треугольника $S_{ABC}$ можно вычислить двумя способами:

1. Как половину модуля векторного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

2. Как половину произведения длины основания на высоту, проведенную к нему:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{BC}| \cdot AH$

Приравняв эти два выражения, получим формулу для вычисления высоты AH:

$AH = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{|\vec{BC}|}$

Найдем координаты векторов, исходя из координат вершин $A(1; 3; 2)$, $B(0; 2; 4)$ и $C(1; 1; 4)$:

$\vec{AB} = \{0-1; 2-3; 4-2\} = \{-1; -1; 2\}$

$\vec{AC} = \{1-1; 1-3; 4-2\} = \{0; -2; 2\}$

$\vec{BC} = \{1-0; 1-2; 4-4\} = \{1; -1; 0\}$

Теперь вычислим векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$ с помощью определителя:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)\cdot2 - 2\cdot(-2)) - \mathbf{j}((-1)\cdot2 - 2\cdot0) + \mathbf{k}((-1)\cdot(-2) - (-1)\cdot0)$

$= \mathbf{i}(-2 + 4) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(2) = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \{2; 2; 2\}$

Далее найдем модуль (длину) полученного вектора:

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Затем найдем длину основания BC, вычислив модуль вектора $\vec{BC}$:

$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$

Наконец, подставим найденные значения в формулу для высоты AH:

$AH = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

Способ 2: Через скалярное произведение векторов

Этот способ позволяет проверить, не является ли треугольник прямоугольным, что может упростить задачу. Если угол при вершине B прямой, то высота AH совпадет с катетом AB. Проверим это, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Если оно равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Найдем координаты векторов, выходящих из вершины B:

$\vec{BA} = -\vec{AB} = -\{-1; -1; 2\} = \{1; 1; -2\}$

$\vec{BC} = \{1; -1; 0\}$

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot (-1)) + (-2 \cdot 0) = 1 - 1 + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, угол $\angle ABC$ является прямым ($90^\circ$). Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный, а AB и BC — его катеты.

В таком треугольнике высота, опущенная из вершины A на прямую, содержащую катет BC, есть не что иное, как сам катет AB. Таким образом, длина высоты AH равна длине стороны AB.

Найдем длину AB (модуль вектора $\vec{AB}$):

$AH = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{6}$.

3.61. Лежат ли точки $A(-2; 4; 3)$, $B(4; -2; 3)$, $C(0; 6; 7)$ и $O(0; 0; 0)$ в одной плоскости?

Для проверки, лежат ли четыре точки A(-2; 4; 3), B(4; -2; 3), C(0; 6; 7) и O(0; 0; 0) в одной плоскости, необходимо проверить компланарность трех векторов, построенных на этих точках. Если три вектора, выходящие из одной общей точки (например, O) к трем другим точкам (A, B, C), компланарны, то все четыре точки лежат в одной плоскости. Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

1. Определение векторов

Найдем координаты векторов $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$, выбрав точку O(0; 0; 0) в качестве начала:

$\vec{OA} = (-2 - 0; 4 - 0; 3 - 0) = (-2; 4; 3)$

$\vec{OB} = (4 - 0; -2 - 0; 3 - 0) = (4; -2; 3)$

$\vec{OC} = (0 - 0; 6 - 0; 7 - 0) = (0; 6; 7)$

2. Вычисление смешанного произведения

Смешанное произведение векторов $(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})$ вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

$(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}) = \begin{vmatrix} -2 & 4 & 3 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

Раскроем определитель по первому столбцу:

$= -2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}$

$= -2 ((-2) \cdot 7 - 3 \cdot 6) - 4 (4 \cdot 7 - 3 \cdot 0) + 0$

$= -2 (-14 - 18) - 4 (28 - 0)$

$= -2 (-32) - 4 (28)$

$= 64 - 112 = -48$

Проверим вычисление по-другому, по правилу Саррюса (или раскрывая по первой строке):

$= -2 ((-2) \cdot 7 - 3 \cdot 6) - 4(4 \cdot 7 - 3 \cdot 0) + 3(4 \cdot 6 - (-2) \cdot 0)$

$= -2(-14 - 18) - 4(28 - 0) + 3(24 - 0)$

$= -2(-32) - 4(28) + 3(24)$

$= 64 - 112 + 72$

$= 136 - 112 = 24$

В обоих случаях результат не равен нулю. Значение определителя равно 24.

3. Вывод

Так как смешанное произведение векторов $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ не равно нулю ($24 \ne 0$), эти векторы не являются компланарными. Следовательно, точки A, B, C и O не лежат в одной плоскости.

Ответ: Нет, точки не лежат в одной плоскости.

3.62. Вектор $\vec{d}$ выразите через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

1) $\vec{a} = (1; 3; 5)$, $\vec{b} = (0; 4; 5)$, $\vec{c} = (7; -8; 4)$, $\vec{d} = (2; -1; 3)$;

2) $\vec{a} = (1; 2; 5)$, $\vec{b} = (-1; 6; 3)$, $\vec{c} = (0; 0; 2)$, $\vec{d} = (1; 0; 4)$.

1) Чтобы выразить вектор $\vec{d}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, необходимо найти такие действительные числа $x$, $y$ и $z$, для которых справедливо векторное равенство $\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$.
Подставим координаты данных векторов в это равенство:
$(2; -1; 3) = x(1; 3; 5) + y(0; 4; 5) + z(7; -8; 4)$
Раскроем скобки и сложим векторы в правой части:
$(2; -1; 3) = (1x; 3x; 5x) + (0y; 4y; 5y) + (7z; -8z; 4z)$
$(2; -1; 3) = (x + 7z; 3x + 4y - 8z; 5x + 5y + 4z)$
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Приравнивая их, получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными $x, y, z$:
$ \begin{cases} x + 7z = 2 \\ 3x + 4y - 8z = -1 \\ 5x + 5y + 4z = 3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2 - 7z$.
Подставим это выражение для $x$ во второе и третье уравнения системы:
$ \begin{cases} 3(2 - 7z) + 4y - 8z = -1 \\ 5(2 - 7z) + 5y + 4z = 3 \end{cases} $
Упростим систему:
$ \begin{cases} 6 - 21z + 4y - 8z = -1 \\ 10 - 35z + 5y + 4z = 3 \end{cases} $
$ \begin{cases} 4y - 29z = -7 \\ 5y - 31z = -7 \end{cases} $
Решим полученную систему двух уравнений. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -4, чтобы исключить $y$:
$ \begin{cases} 20y - 145z = -35 \\ -20y + 124z = 28 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(20y - 145z) + (-20y + 124z) = -35 + 28$
$-21z = -7$
$z = \frac{-7}{-21} = \frac{1}{3}$
Теперь найдем $y$, подставив значение $z$ в уравнение $5y - 31z = -7$:
$5y - 31(\frac{1}{3}) = -7$
$5y = \frac{31}{3} - 7$
$5y = \frac{31 - 21}{3} = \frac{10}{3}$
$y = \frac{10}{3 \cdot 5} = \frac{2}{3}$
Наконец, найдем $x$ из выражения $x = 2 - 7z$:
$x = 2 - 7(\frac{1}{3}) = \frac{6}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{1}{3}$
Таким образом, мы нашли искомые коэффициенты: $x = -1/3, y = 2/3, z = 1/3$.
Ответ: $\vec{d} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

2) Поступаем аналогично первому пункту. Ищем разложение вектора $\vec{d}$ по векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ в виде $\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$.
Запишем уравнение в координатной форме:
$(1; 0; 4) = x(1; 2; 5) + y(-1; 6; 3) + z(0; 0; 2)$
$(1; 0; 4) = (x - y; 2x + 6y; 5x + 3y + 2z)$
Составим систему уравнений, приравняв соответствующие координаты:
$ \begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + 6y = 0 \\ 5x + 3y + 2z = 4 \end{cases} $
Из второго уравнения $2x + 6y = 0$ можно выразить $x$. Разделив уравнение на 2, получим $x + 3y = 0$, откуда $x = -3y$.
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(-3y) - y = 1$
$-4y = 1$
$y = -\frac{1}{4}$
Теперь найдем $x$:
$x = -3y = -3(-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4}$
Подставим найденные значения $x$ и $y$ в третье уравнение системы, чтобы найти $z$:
$5(\frac{3}{4}) + 3(-\frac{1}{4}) + 2z = 4$
$\frac{15}{4} - \frac{3}{4} + 2z = 4$
$\frac{12}{4} + 2z = 4$
$3 + 2z = 4$
$2z = 1$
$z = \frac{1}{2}$
Таким образом, коэффициенты разложения равны: $x = 3/4, y = -1/4, z = 1/2$.
Ответ: $\vec{d} = \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3.63. Даны точки $A(1; -2; 3)$, $B(2; 0; -2)$, $C(0; k; 4)$. При каких значениях $k$ треугольник $ABC$ является равнобедренным?

Для того чтобы треугольник ABC был равнобедренным, необходимо, чтобы длины как минимум двух его сторон были равны. Это условие эквивалентно равенству квадратов длин этих сторон. Найдем квадраты длин сторон треугольника, используя формулу для квадрата расстояния между точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Даны координаты вершин: A(1; -2; 3), B(2; 0; -2), C(0; k; 4).

Вычислим квадраты длин каждой стороны:

1. Квадрат длины стороны AB:

$|AB|^2 = (2 - 1)^2 + (0 - (-2))^2 + (-2 - 3)^2 = 1^2 + 2^2 + (-5)^2 = 1 + 4 + 25 = 30$.

2. Квадрат длины стороны BC:

$|BC|^2 = (0 - 2)^2 + (k - 0)^2 + (4 - (-2))^2 = (-2)^2 + k^2 + 6^2 = 4 + k^2 + 36 = k^2 + 40$.

3. Квадрат длины стороны AC:

$|AC|^2 = (0 - 1)^2 + (k - (-2))^2 + (4 - 3)^2 = (-1)^2 + (k + 2)^2 + 1^2 = 1 + (k^2 + 4k + 4) + 1 = k^2 + 4k + 6$.

Рассмотрим три возможных случая равенства сторон, чтобы треугольник был равнобедренным:

Случай 1: $|AB| = |BC|$ (или $|AB|^2 = |BC|^2$)

Приравниваем квадраты длин:

$30 = k^2 + 40$

$k^2 = 30 - 40$

$k^2 = -10$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $|AB| = |AC|$ (или $|AB|^2 = |AC|^2$)

Приравниваем квадраты длин:

$30 = k^2 + 4k + 6$

$k^2 + 4k + 6 - 30 = 0$

$k^2 + 4k - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 16 + 96 = 112$.

Корни уравнения:

$k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{7}$.

Получаем два значения для k: $k_1 = -2 + 2\sqrt{7}$ и $k_2 = -2 - 2\sqrt{7}$.

Случай 3: $|BC| = |AC|$ (или $|BC|^2 = |AC|^2$)

Приравниваем квадраты длин:

$k^2 + 40 = k^2 + 4k + 6$

$40 = 4k + 6$

$4k = 40 - 6$

$4k = 34$

$k = \frac{34}{4} = \frac{17}{2} = 8.5$.

Таким образом, мы нашли три значения k, при которых треугольник ABC является равнобедренным.

Ответ: $k=8.5$; $k=-2+2\sqrt{7}$; $k=-2-2\sqrt{7}$.

3.64. При параллельном переносе вектора $\vec{a} = (a; b; c)$ на радиус-вектор точка $A(x; y; z)$ переходит в точку $A'(x'; y'; z')$. Установите зависимость между координатами точек $A$ и $A'$.

Рассмотрим точку $A$ с координатами $(x; y; z)$ и точку $A'$ с координатами $(x'; y'; z')$. По условию, точка $A'$ является образом точки $A$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a} = (a; b; c)$.

По определению параллельного переноса, вектор, проведенный из исходной точки $A$ в ее образ $A'$, равен вектору переноса $\vec{a}$. Математически это записывается как:

$\vec{AA'} = \vec{a}$

Координаты вектора $\vec{AA'}$ можно найти, вычитая из координат его конечной точки ( $A'$ ) соответствующие координаты начальной точки ( $A$ ):

$\vec{AA'} = (x' - x; y' - y; z' - z)$

Поскольку вектор $\vec{AA'}$ равен вектору $\vec{a}$, их соответствующие координаты должны быть равны:

$(x' - x; y' - y; z' - z) = (a; b; c)$

Это равенство можно представить в виде системы трех уравнений, по одному для каждой координатной оси:

$ \begin{cases} x' - x = a \\ y' - y = b \\ z' - z = c \end{cases} $

Выражая из этих уравнений координаты точки $A'$, получаем искомую зависимость:

$ \begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \\ z' = z + c \end{cases} $

Таким образом, каждая координата точки $A'$ получается путем прибавления к соответствующей координате точки $A$ соответствующей координаты вектора переноса $\vec{a}$.

Ответ: Зависимость между координатами точки $A(x; y; z)$ и ее образа $A'(x'; y'; z')$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}=(a; b; c)$ выражается формулами: $x' = x + a$, $y' = y + b$, $z' = z + c$.

3.65. Найдите образ данной точки при параллельном переносе на вектор $\vec{a} = (1; 2; 3)$:

1) O$(0; 0; 0)$;

2) A$(1; 2; 3)$;

3) B$(-2; 0; -1)$.

Параллельный перенос точки $P(x; y; z)$ на вектор $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ переводит ее в точку $P'(x'; y'; z')$, координаты которой находятся путем сложения соответствующих координат точки и вектора. Формулы для координат образа точки:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$
$z' = z + a_z$
В данной задаче вектор переноса $\vec{a} = (1; 2; 3)$.

1) Найдем образ точки $O(0; 0; 0)$. Обозначим ее образ как $O'(x'; y'; z')$.
$x' = 0 + 1 = 1$
$y' = 0 + 2 = 2$
$z' = 0 + 3 = 3$
Таким образом, образ точки $O(0; 0; 0)$ — это точка $O'(1; 2; 3)$.
Ответ: $O'(1; 2; 3)$.

2) Найдем образ точки $A(1; 2; 3)$. Обозначим ее образ как $A'(x'; y'; z')$.
$x' = 1 + 1 = 2$
$y' = 2 + 2 = 4$
$z' = 3 + 3 = 6$
Таким образом, образ точки $A(1; 2; 3)$ — это точка $A'(2; 4; 6)$.
Ответ: $A'(2; 4; 6)$.

3) Найдем образ точки $B(-2; 0; -1)$. Обозначим ее образ как $B'(x'; y'; z')$.
$x' = -2 + 1 = -1$
$y' = 0 + 2 = 2$
$z' = -1 + 3 = 2$
Таким образом, образ точки $B(-2; 0; -1)$ — это точка $B'(-1; 2; 2)$.
Ответ: $B'(-1; 2; 2)$.

3.66. Даны точки A(1; -2; 3) и B(2; 0; -2). Найдите координаты единичного вектора, коллинеарного биссектрисе угла AOB.

Для нахождения координат единичного вектора, коллинеарного биссектрисе угла $AOB$, мы используем свойство, согласно которому вектор биссектрисы коллинеарен сумме единичных векторов, образующих стороны угла. Вершина угла $AOB$ находится в начале координат $O(0; 0; 0)$.

Сначала определим векторы, образующие угол, $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.
$\vec{OA} = (1 - 0; -2 - 0; 3 - 0) = (1; -2; 3)$.
$\vec{OB} = (2 - 0; 0 - 0; -2 - 0) = (2; 0; -2)$.

Затем найдем длины (модули) этих векторов.
$|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
$|\vec{OB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Направляющий вектор биссектрисы угла коллинеарен сумме единичных векторов (ортов) $\vec{e}_{OA}$ и $\vec{e}_{OB}$.
$\vec{e}_{OA} = \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|} = \frac{1}{\sqrt{14}}(1; -2; 3)$.
$\vec{e}_{OB} = \frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2; 0; -2) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1; 0; -1)$.

Вектор $\vec{c}$, направленный по биссектрисе, коллинеарен сумме $\vec{e}_{OA} + \vec{e}_{OB}$. Для удобства вычислений возьмем вектор $\vec{s}$, коллинеарный этой сумме, который получается домножением на $\sqrt{14}$ для избавления от знаменателей:
$\vec{s} = \sqrt{14} (\vec{e}_{OA} + \vec{e}_{OB}) = \sqrt{14} \left( \frac{1}{\sqrt{14}}(1; -2; 3) + \frac{1}{\sqrt{2}}(1; 0; -1) \right)$
$\vec{s} = (1; -2; 3) + \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}(1; 0; -1) = (1; -2; 3) + \sqrt{7}(1; 0; -1)$
$\vec{s} = (1; -2; 3) + (\sqrt{7}; 0; -\sqrt{7}) = (1 + \sqrt{7}; -2; 3 - \sqrt{7})$.

Теперь найдем длину вектора $\vec{s}$, чтобы затем его нормировать.
$|\vec{s}|^2 = (1 + \sqrt{7})^2 + (-2)^2 + (3 - \sqrt{7})^2$
$|\vec{s}|^2 = (1 + 2\sqrt{7} + 7) + 4 + (9 - 6\sqrt{7} + 7)$
$|\vec{s}|^2 = 8 + 2\sqrt{7} + 4 + 16 - 6\sqrt{7} = 28 - 4\sqrt{7}$.
$|\vec{s}| = \sqrt{28 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{4(7 - \sqrt{7})} = 2\sqrt{7 - \sqrt{7}}$.

Искомый единичный вектор $\vec{u}$ равен $\frac{\vec{s}}{|\vec{s}|}$.
$\vec{u} = \frac{1}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}}(1 + \sqrt{7}; -2; 3 - \sqrt{7})$.
Координаты этого вектора:
$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}}$
$y = \frac{-2}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}} = -\frac{1}{\sqrt{7 - \sqrt{7}}}$
$z = \frac{3 - \sqrt{7}}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}}$

Ответ: Координаты единичного вектора, коллинеарного биссектрисе угла $AOB$, равны $\left( \frac{1 + \sqrt{7}}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}}; -\frac{1}{\sqrt{7 - \sqrt{7}}}; \frac{3 - \sqrt{7}}{2\sqrt{7 - \sqrt{7}}} \right)$.