Страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.35. Даны векторы $\vec{a}=\vec{i}+7\vec{k}$ и $\vec{b}=5\vec{a}$. Найдите $|\vec{b}|$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{b}$ необходимо выполнить несколько шагов. Сначала определим координаты вектора $\vec{a}$, затем, используя их, найдем координаты вектора $\vec{b}$, и в конце вычислим его модуль.

1. Нахождение координат вектора $\vec{a}$. Вектор $\vec{a}$ задан в виде разложения по ортам (базисным векторам) $\vec{a} = \vec{i} + 7\vec{k}$. В трехмерном пространстве это соответствует записи $\vec{a} = 1\vec{i} + 0\vec{j} + 7\vec{k}$. Следовательно, координаты вектора $\vec{a}$ равны $(1, 0, 7)$.

2. Нахождение координат вектора $\vec{b}$. По условию задачи, $\vec{b} = 5\vec{a}$. Чтобы найти координаты вектора $\vec{b}$, нужно умножить каждую координату вектора $\vec{a}$ на 5:
$\vec{b} = 5 \cdot (1, 0, 7) = (5 \cdot 1, 5 \cdot 0, 5 \cdot 7) = (5, 0, 35)$.

3. Вычисление модуля вектора $\vec{b}$. Модуль (или длина) вектора с координатами $(x, y, z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Подставим координаты вектора $\vec{b}=(5, 0, 35)$ в эту формулу:
$|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 35^2} = \sqrt{25 + 0 + 1225} = \sqrt{1250}$.

4. Упрощение результата. Упростим полученный корень, разложив подкоренное выражение на множители:
$\sqrt{1250} = \sqrt{625 \cdot 2} = \sqrt{25^2 \cdot 2} = 25\sqrt{2}$.

Альтернативно, можно было использовать свойство модуля вектора $|k\vec{v}| = |k||\vec{v}|$. Сначала вычисляем модуль вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2+0^2+7^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Затем находим модуль вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = |5\vec{a}| = 5 \cdot |\vec{a}| = 5 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}$.

Ответ: $25\sqrt{2}$.

3.36. Даны векторы $\vec{a}=(1; 0; 1)$, $\vec{b}=(3; -2; 1)$, $\vec{c}=(2; -1; -2)$.

Найдите:

1) $\vec{a}+\vec{b}$;

2) $\vec{c}-\vec{b}$;

3) $2\vec{a}-\vec{b}$;

4) $3\vec{b}-2\vec{c}$;

5) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$;

6) $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$;

7) $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$;

8) $-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

Даны векторы $\vec{a}=(1; 0; 1)$, $\vec{b}=(3; -2; 1)$, $\vec{c}=(2; -1; -2)$.

1) $\vec{a}+\vec{b}$
Для нахождения суммы векторов необходимо сложить их соответствующие координаты:
$\vec{a}+\vec{b} = (1; 0; 1) + (3; -2; 1) = (1+3; 0+(-2); 1+1) = (4; -2; 2)$.
Ответ: $(4; -2; 2)$.

2) $\vec{c}-\vec{b}$
Для нахождения разности векторов необходимо вычесть соответствующие координаты одного вектора из другого:
$\vec{c}-\vec{b} = (2; -1; -2) - (3; -2; 1) = (2-3; -1-(-2); -2-1) = (-1; 1; -3)$.
Ответ: $(-1; 1; -3)$.

3) $2\vec{a}-\vec{b}$
Сначала умножим вектор $\vec{a}$ на скаляр 2:
$2\vec{a} = 2 \cdot (1; 0; 1) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 0; 2 \cdot 1) = (2; 0; 2)$.
Затем вычтем вектор $\vec{b}$ из полученного вектора:
$2\vec{a}-\vec{b} = (2; 0; 2) - (3; -2; 1) = (2-3; 0-(-2); 2-1) = (-1; 2; 1)$.
Ответ: $(-1; 2; 1)$.

4) $3\vec{b}-2\vec{c}$
Сначала выполним умножение векторов на скаляры:
$3\vec{b} = 3 \cdot (3; -2; 1) = (9; -6; 3)$.
$2\vec{c} = 2 \cdot (2; -1; -2) = (4; -2; -4)$.
Теперь найдем разность полученных векторов:
$3\vec{b}-2\vec{c} = (9; -6; 3) - (4; -2; -4) = (9-4; -6-(-2); 3-(-4)) = (5; -4; 7)$.
Ответ: $(5; -4; 7)$.

5) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$
Сложим соответствующие координаты всех трех векторов:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = (1; 0; 1) + (3; -2; 1) + (2; -1; -2) = (1+3+2; 0-2-1; 1+1-2) = (6; -3; 0)$.
Ответ: $(6; -3; 0)$.

6) $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$
Последовательно вычтем координаты векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ из координат вектора $\vec{a}$:
$\vec{a}-\vec{b}-\vec{c} = (1; 0; 1) - (3; -2; 1) - (2; -1; -2) = (1-3-2; 0-(-2)-(-1); 1-1-(-2)) = (-4; 2+1; 0+2) = (-4; 3; 2)$.
Ответ: $(-4; 3; 2)$.

7) $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$
Сложим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и вычтем координаты вектора $\vec{c}$:
$\vec{a}+\vec{b}-\vec{c} = (1; 0; 1) + (3; -2; 1) - (2; -1; -2) = (1+3-2; 0+(-2)-(-1); 1+1-(-2)) = (2; -1; 4)$.
Ответ: $(2; -1; 4)$.

8) $-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$
Сначала найдем вектор $-\vec{a}$:
$-\vec{a} = -1 \cdot (1; 0; 1) = (-1; 0; -1)$.
Теперь сложим полученный вектор с векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$:
$-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = (-1; 0; -1) + (3; -2; 1) + (2; -1; -2) = (-1+3+2; 0-2-1; -1+1-2) = (4; -3; -2)$.
Ответ: $(4; -3; -2)$.

3.37. По данным задачи 3.33 найдите модули указанных векторов.

Для решения задачи воспользуемся данными из задачи 3.33, где задан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Модуль вектора — это его длина. Мы найдем длины указанных векторов, используя их координаты в трехмерном пространстве.

Введем правую декартову систему координат. Поместим вершину A в начало координат. Направим ось Ox вдоль ребра $AD$, ось Oy — вдоль ребра $AB$, и ось Oz — вдоль ребра $AA_1$. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты вершин куба будут следующими:

$A(0, 0, 0)$

$B(0, 1, 0)$

$C(1, 1, 0)$

$D(1, 0, 0)$

$A_1(0, 0, 1)$

$B_1(0, 1, 1)$

$C_1(1, 1, 1)$

$D_1(1, 0, 1)$

Модуль вектора $\vec{v} = (x, y, z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

В задаче 3.33 были указаны следующие векторы: а) $\vec{AC}$, б) $\vec{AD_1}$, в) $\vec{BD_1}$, г) $\vec{A_1C}$. Найдем их модули.

а) Найдем координаты вектора $\vec{AC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{AC} = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)$.

Теперь вычислим модуль (длину) вектора $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

б) Найдем координаты вектора $\vec{AD_1}$:

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{AD_1}$:

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

в) Найдем координаты вектора $\vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (1, 0, 1) - (0, 1, 0) = (1, -1, 1)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{BD_1}$:

$|\vec{BD_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) Найдем координаты вектора $\vec{A_1C}$:

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{A_1C}$:

$|\vec{A_1C}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

3.38. Даны точки A(-1; 1; 1), B(3; 0; 3), C(0; 0; 2). Найдите координаты и модули векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{BC}$.

Для нахождения координат вектора, заданного начальной точкой $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и конечной точкой $M_2(x_2; y_2; z_2)$, используется формула:

$\overline{M_1M_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$

Модуль (длина) вектора $\overline{v}(a; b; c)$ вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат:

$|\overline{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + z^2}$

Применим эти правила к данным точкам $A(-1; 1; 1)$, $B(3; 0; 3)$, $C(0; 0; 2)$.

$\overline{AB}$

1. Координаты вектора. Вычтем из координат точки $B$ соответствующие координаты точки $A$:

$\overline{AB} = (3 - (-1); 0 - 1; 3 - 1) = (4; -1; 2)$.

2. Модуль вектора. Найдем длину вектора $\overline{AB}(4; -1; 2)$:

$|\overline{AB}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$.

Ответ: $\overline{AB}(4; -1; 2)$, $|\overline{AB}| = \sqrt{21}$.

$\overline{AC}$

1. Координаты вектора. Вычтем из координат точки $C$ соответствующие координаты точки $A$:

$\overline{AC} = (0 - (-1); 0 - 1; 2 - 1) = (1; -1; 1)$.

2. Модуль вектора. Найдем длину вектора $\overline{AC}(1; -1; 1)$:

$|\overline{AC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\overline{AC}(1; -1; 1)$, $|\overline{AC}| = \sqrt{3}$.

$\overline{BC}$

1. Координаты вектора. Вычтем из координат точки $C$ соответствующие координаты точки $B$:

$\overline{BC} = (0 - 3; 0 - 0; 2 - 3) = (-3; 0; -1)$.

2. Модуль вектора. Найдем длину вектора $\overline{BC}(-3; 0; -1)$:

$|\overline{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$.

Ответ: $\overline{BC}(-3; 0; -1)$, $|\overline{BC}| = \sqrt{10}$.

3.39. Какие из векторов $\vec{a} = (3; -2; 1)$, $\vec{b}=(6; -8; 4)$, $\vec{c}=(6; -4; 2)$, $\vec{p}=(1.5; -1; 0.5)$, $\vec{q}=(-3; 4; -2)$ коллинеарны?

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\vec{u} = (u_x; u_y; u_z)$ и $\vec{v} = (v_x; v_y; v_z)$ должно выполняться равенство $\frac{v_x}{u_x} = \frac{v_y}{u_y} = \frac{v_z}{u_z} = k$, где $k$ – некоторое число (коэффициент пропорциональности). Если одна из координат одного вектора равна нулю, то для коллинеарности соответствующая координата другого вектора также должна быть равна нулю.

Проверим попарно все данные векторы на коллинеарность, находя отношения их соответствующих координат.

1. Сравнение вектора $\vec{a} = (3; -2; 1)$ с остальными.

$\vec{a}$ и $\vec{b} = (6; -8; 4)$:
$\frac{6}{3} = 2$; $\frac{-8}{-2} = 4$; $\frac{4}{1} = 4$.
Отношения не равны ($2 \neq 4$), значит векторы не коллинеарны.

$\vec{a}$ и $\vec{c} = (6; -4; 2)$:
$\frac{6}{3} = 2$; $\frac{-4}{-2} = 2$; $\frac{2}{1} = 2$.
Отношения равны, значит векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны ($\vec{c} = 2\vec{a}$).

$\vec{a}$ и $\vec{p} = (1.5; -1; 0.5)$:
$\frac{1.5}{3} = 0.5$; $\frac{-1}{-2} = 0.5$; $\frac{0.5}{1} = 0.5$.
Отношения равны, значит векторы $\vec{a}$ и $\vec{p}$ коллинеарны ($\vec{p} = 0.5\vec{a}$).

$\vec{a}$ и $\vec{q} = (-3; 4; -2)$:
$\frac{-3}{3} = -1$; $\frac{4}{-2} = -2$; $\frac{-2}{1} = -2$.
Отношения не равны ($-1 \neq -2$), значит векторы не коллинеарны.

Из первого этапа проверки мы установили, что векторы $\vec{a}$, $\vec{c}$ и $\vec{p}$ коллинеарны между собой. Теперь проверим оставшуюся пару векторов, которые не были коллинеарны вектору $\vec{a}$.

2. Сравнение вектора $\vec{b} = (6; -8; 4)$ с вектором $\vec{q} = (-3; 4; -2)$.

$\frac{-3}{6} = -0.5$; $\frac{4}{-8} = -0.5$; $\frac{-2}{4} = -0.5$.
Отношения равны, значит векторы $\vec{b}$ и $\vec{q}$ коллинеарны ($\vec{q} = -0.5\vec{b}$).

Таким образом, данные векторы можно разбить на две группы коллинеарных векторов.

Ответ: Коллинеарными являются следующие группы векторов: 1) $\vec{a}$, $\vec{c}$, $\vec{p}$; 2) $\vec{b}$, $\vec{q}$.

3.40. Укажите все пары коллинеарных векторов:

$\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j}$, $\vec{b} = 2\vec{j} - 4\vec{k}$, $\vec{c} = 6\vec{i} - 10\vec{j} + 8\vec{k}$, $\vec{p} = -\vec{j} + 2\vec{k}$, $\vec{q} = 5\vec{j} - 4\vec{k} - 3\vec{i}$, $\vec{m} = 12\vec{i} - 20\vec{j} + 16\vec{k}$.

Два ненулевых вектора $\vec{u}$ и $\vec{v}$ называются коллинеарными, если существует такое число $k \neq 0$, что выполняется равенство $\vec{u} = k\vec{v}$. Это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов $\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)$ условие коллинеарности можно записать в виде отношения: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k$. Если одна из координат одного вектора равна нулю, то для коллинеарности соответствующая координата другого вектора также должна быть равна нулю (за исключением случая, когда весь вектор нулевой).

Сначала запишем координаты всех данных векторов в стандартном базисе $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$:

$\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} \implies \vec{a} = (2, -1, 0)$

$\vec{b} = 2\vec{j} - 4\vec{k} \implies \vec{b} = (0, 2, -4)$

$\vec{c} = 6\vec{i} - 10\vec{j} + 8\vec{k} \implies \vec{c} = (6, -10, 8)$

$\vec{p} = -\vec{j} + 2\vec{k} \implies \vec{p} = (0, -1, 2)$

$\vec{q} = 5\vec{j} - 4\vec{k} - 3\vec{i} = -3\vec{i} + 5\vec{j} - 4\vec{k} \implies \vec{q} = (-3, 5, -4)$

$\vec{m} = 12\vec{i} - 20\vec{j} + 16\vec{k} \implies \vec{m} = (12, -20, 16)$

Теперь попарно проверим векторы на коллинеарность, находя отношение их координат.

1. Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{p}$:
Координаты $\vec{b} = (0, 2, -4)$ и $\vec{p} = (0, -1, 2)$.
Первая координата у обоих векторов равна 0. Проверим отношение для остальных координат:
$\frac{2}{-1} = -2$
$\frac{-4}{2} = -2$
Отношения равны, следовательно, векторы коллинеарны, и выполняется соотношение $\vec{b} = -2\vec{p}$. Таким образом, ($\vec{b}, \vec{p}$) — пара коллинеарных векторов.

2. Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{q}$:
Координаты $\vec{c} = (6, -10, 8)$ и $\vec{q} = (-3, 5, -4)$.
Найдем отношения их координат:
$\frac{6}{-3} = -2$
$\frac{-10}{5} = -2$
$\frac{8}{-4} = -2$
Отношения равны, следовательно, векторы коллинеарны, и $\vec{c} = -2\vec{q}$. Таким образом, ($\vec{c}, \vec{q}$) — пара коллинеарных векторов.

3. Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{m}$:
Координаты $\vec{c} = (6, -10, 8)$ и $\vec{m} = (12, -20, 16)$.
Найдем отношения их координат:
$\frac{12}{6} = 2$
$\frac{-20}{-10} = 2$
$\frac{16}{8} = 2$
Отношения равны, следовательно, векторы коллинеарны, и $\vec{m} = 2\vec{c}$. Таким образом, ($\vec{c}, \vec{m}$) — пара коллинеарных векторов.

4. Сравним векторы $\vec{q}$ и $\vec{m}$:
Координаты $\vec{q} = (-3, 5, -4)$ и $\vec{m} = (12, -20, 16)$.
Поскольку $\vec{c}$ коллинеарен $\vec{q}$ и $\vec{c}$ коллинеарен $\vec{m}$, то векторы $\vec{q}$ и $\vec{m}$ также должны быть коллинеарны. Проверим это напрямую:
$\frac{12}{-3} = -4$
$\frac{-20}{5} = -4$
$\frac{16}{-4} = -4$
Отношения равны, следовательно, векторы коллинеарны, и $\vec{m} = -4\vec{q}$. Таким образом, ($\vec{q}, \vec{m}$) — пара коллинеарных векторов.

5. Проверка остальных пар:
Вектор $\vec{a}=(2, -1, 0)$ имеет нулевую третью координату ($z=0$), в то время как векторы $\vec{c}, \vec{q}, \vec{m}$ имеют ненулевые третьи координаты, поэтому $\vec{a}$ не может быть им коллинеарен. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{p}$ имеют нулевую первую координату ($x=0$), а $\vec{a}$ — ненулевую, поэтому $\vec{a}$ не коллинеарен $\vec{b}$ и $\vec{p}$.
Векторы из группы $\{\vec{b}, \vec{p}\}$ (с $x=0$) не могут быть коллинеарны векторам из группы $\{\vec{c}, \vec{q}, \vec{m}\}$ (с $x \neq 0$).

Следовательно, мы нашли все пары коллинеарных векторов.

Ответ: Коллинеарными являются следующие пары векторов: $(\vec{b}, \vec{p})$, $(\vec{c}, \vec{q})$, $(\vec{c}, \vec{m})$, $(\vec{q}, \vec{m})$.

3.41. Даны точки A(2; -3; 4), B(0; 2; -3) и вектор $\vec{OC} = (0; -2; 0)$.

Найдите:

1) $|\vec{AB}|$;

2) $|\vec{BC}|$;

3) $|\vec{CA} + \vec{CB}|$;

4) $|\vec{AB} - \vec{BC}|$, где O(0; 0; 0).

Для решения задачи сначала найдем координаты всех точек. Даны точки $A(2; -3; 4)$ и $B(0; 2; -3)$. Координаты точки $O$ — начало координат $O(0; 0; 0)$. Вектор $\vec{OC}$ имеет координаты $(0; -2; 0)$. Так как начало вектора $\vec{OC}$ находится в точке $O(0; 0; 0)$, то координаты его конца, точки C, совпадают с координатами самого вектора. Таким образом, точка C имеет координаты $C(0; -2; 0)$.

1) $|\vec{AB}|$
Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$ как разность координат его конца (точки B) и начала (точки A):
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 2; 2 - (-3); -3 - 4) = (-2; 5; -7)$.
Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{AB}$ по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 25 + 49} = \sqrt{78}$.
Ответ: $\sqrt{78}$.

2) $|\vec{BC}|$
Найдем координаты вектора $\vec{BC}$ как разность координат точек C и B:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (0 - 0; -2 - 2; 0 - (-3)) = (0; -4; 3)$.
Найдем модуль вектора $\vec{BC}$:
$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5.

3) $|\vec{CA} + \vec{CB}|$
Найдем координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$:
$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C; z_A - z_C) = (2 - 0; -3 - (-2); 4 - 0) = (2; -1; 4)$.
$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C; z_B - z_C) = (0 - 0; 2 - (-2); -3 - 0) = (0; 4; -3)$.
Теперь найдем сумму векторов, сложив их соответствующие координаты:
$\vec{CA} + \vec{CB} = (2 + 0; -1 + 4; 4 + (-3)) = (2; 3; 1)$.
Найдем модуль результирующего вектора:
$|\vec{CA} + \vec{CB}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
Ответ: $\sqrt{14}$.

4) $|\vec{AB} - \vec{BC}|$
Используем ранее найденные координаты векторов $\vec{AB} = (-2; 5; -7)$ и $\vec{BC} = (0; -4; 3)$.
Найдем разность векторов, вычитая соответствующие координаты:
$\vec{AB} - \vec{BC} = (-2 - 0; 5 - (-4); -7 - 3) = (-2; 9; -10)$.
Найдем модуль результирующего вектора:
$|\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 9^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 81 + 100} = \sqrt{185}$.
Ответ: $\sqrt{185}$.

3.42. По данным задачи 3.33 найдите:

1) $ \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} $;

2) $ \vec{b} + 2\vec{p} - 2\vec{q} $;

3) $ 2\vec{b} - 3\vec{c} + 0.5\vec{q} $;

4) $ 3\vec{a} - 2\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{p} $.

Для решения задачи используются данные из задачи 3.33, которые не приведены на изображении. Координаты векторов следующие:

$\vec{a} = \{3; -2; 6\}$

$\vec{b} = \{-2; 1; 0\}$

$\vec{c} = \{4; -2; 3\}$

$\vec{d} = \{-1; 1; -9\}$

$\vec{p} = \{3; -1; 2\}$

$\vec{q} = \{2; -1; -1\}$

Операции с векторами (сложение, вычитание, умножение на число) производятся покомпонентно.

1) $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Чтобы найти координаты искомого вектора, выполним соответствующие операции с координатами данных векторов:

$\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \{3+(-2)-4; -2+1-(-2); 6+0-3\}$

Вычисляем каждую координату отдельно:

Первая координата: $3 - 2 - 4 = -3$

Вторая координата: $-2 + 1 + 2 = 1$

Третья координата: $6 + 0 - 3 = 3$

Таким образом, координаты результирующего вектора: $\{-3; 1; 3\}$.

Ответ: $\{-3; 1; 3\}$.

2) $\vec{b} + 2\vec{p} - 2\vec{q}$

Сначала найдем координаты векторов $2\vec{p}$ и $2\vec{q}$, умножив каждую координату исходных векторов на 2:

$2\vec{p} = 2 \cdot \{3; -1; 2\} = \{2 \cdot 3; 2 \cdot (-1); 2 \cdot 2\} = \{6; -2; 4\}$

$2\vec{q} = 2 \cdot \{2; -1; -1\} = \{2 \cdot 2; 2 \cdot (-1); 2 \cdot (-1)\} = \{4; -2; -2\}$

Теперь выполним сложение и вычитание векторов:

$\vec{b} + 2\vec{p} - 2\vec{q} = \{-2 + 6 - 4; 1 + (-2) - (-2); 0 + 4 - (-2)\}$

Вычисляем каждую координату:

Первая координата: $-2 + 6 - 4 = 0$

Вторая координата: $1 - 2 + 2 = 1$

Третья координата: $0 + 4 + 2 = 6$

Координаты результирующего вектора: $\{0; 1; 6\}$.

Ответ: $\{0; 1; 6\}$.

3) $2\vec{b} - 3\vec{c} + 0,5\vec{q}$

Сначала вычислим координаты векторов $2\vec{b}$, $3\vec{c}$ и $0,5\vec{q}$:

$2\vec{b} = 2 \cdot \{-2; 1; 0\} = \{-4; 2; 0\}$

$3\vec{c} = 3 \cdot \{4; -2; 3\} = \{12; -6; 9\}$

$0,5\vec{q} = 0,5 \cdot \{2; -1; -1\} = \{1; -0,5; -0,5\}$

Теперь выполним операции с полученными векторами:

$2\vec{b} - 3\vec{c} + 0,5\vec{q} = \{-4 - 12 + 1; 2 - (-6) - 0,5; 0 - 9 - 0,5\}$

Вычисляем каждую координату:

Первая координата: $-4 - 12 + 1 = -15$

Вторая координата: $2 + 6 - 0,5 = 7,5$

Третья координата: $-9 - 0,5 = -9,5$

Координаты результирующего вектора: $\{-15; 7,5; -9,5\}$.

Ответ: $\{-15; 7,5; -9,5\}$.

4) $3\vec{a} - 2\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{p}$

Вычислим координаты каждого вектора в выражении:

$3\vec{a} = 3 \cdot \{3; -2; 6\} = \{9; -6; 18\}$

$2\vec{b} = 2 \cdot \{-2; 1; 0\} = \{-4; 2; 0\}$

$\frac{1}{3}\vec{d} = \frac{1}{3} \cdot \{-1; 1; -9\} = \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; -3\}$

$\frac{1}{2}\vec{p} = \frac{1}{2} \cdot \{3; -1; 2\} = \{\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; 1\}$

Теперь найдем сумму и разность полученных векторов:

$3\vec{a} - 2\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{p} = \{9 - (-4) - \frac{1}{3} + \frac{3}{2}; -6 - 2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}; 18 - 0 - 3 + 1\}$

Вычисляем каждую координату:

Первая координата: $9 + 4 - \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = 13 - \frac{2}{6} + \frac{9}{6} = \frac{78}{6} - \frac{2}{6} + \frac{9}{6} = \frac{85}{6}$

Вторая координата: $-6 - 2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -8 + \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{48}{6} - \frac{1}{6} = -\frac{49}{6}$

Третья координата: $18 - 3 + 1 = 16$

Координаты результирующего вектора: $\{\frac{85}{6}; -\frac{49}{6}; 16\}$.

Ответ: $\{\frac{85}{6}; -\frac{49}{6}; 16\}$.

3.43. Покажите, что $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$, $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Векторы $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$ являются базисными векторами (или ортами) в прямоугольной декартовой системе координат в трехмерном пространстве. По определению, это единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями осей координат Ox, Oy и Oz соответственно. Координаты любого вектора в данной системе определяются его проекциями на эти оси. Ниже приведено графическое представление этих векторов.

Рассмотрим вектор $\vec{i}$. По определению, это единичный вектор, сонаправленный с осью Ox. "Единичный" означает, что его длина (модуль) равна 1: $|\vec{i}| = 1$. "Сонаправленный с осью Ox" означает, что угол между вектором $\vec{i}$ и положительным направлением оси Ox равен $0^\circ$, а углы с осями Oy и Oz равны $90^\circ$. Координаты вектора — это его проекции на оси. Проекция вектора на ось равна произведению его длины на косинус угла между вектором и осью.
• Проекция на ось Ox: $|\vec{i}| \cdot \cos(0^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$.
• Проекция на ось Oy: $|\vec{i}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
• Проекция на ось Oz: $|\vec{i}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
Таким образом, координаты вектора $\vec{i}$ равны $(1; 0; 0)$.

Рассмотрим вектор $\vec{j}$. Это единичный вектор, сонаправленный с осью Oy, поэтому его длина $|\vec{j}| = 1$. Угол между вектором $\vec{j}$ и осью Oy равен $0^\circ$, а с осями Ox и Oz — $90^\circ$. Найдем его проекции:
• Проекция на ось Ox: $|\vec{j}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
• Проекция на ось Oy: $|\vec{j}| \cdot \cos(0^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$.
• Проекция на ось Oz: $|\vec{j}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
Следовательно, координаты вектора $\vec{j}$ равны $(0; 1; 0)$.

Рассмотрим вектор $\vec{k}$. Это единичный вектор, сонаправленный с осью Oz, поэтому его длина $|\vec{k}| = 1$. Угол между вектором $\vec{k}$ и осью Oz равен $0^\circ$, а с осями Ox и Oy — $90^\circ$. Найдем его проекции:
• Проекция на ось Ox: $|\vec{k}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
• Проекция на ось Oy: $|\vec{k}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
• Проекция на ось Oz: $|\vec{k}| \cdot \cos(0^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$.
Значит, координаты вектора $\vec{k}$ равны $(0; 0; 1)$.

Ответ: На основе определения базисных векторов (ортов) как единичных векторов, сонаправленных с осями координат, и определения координат вектора как его проекций на эти оси, было показано, что $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$ и $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Эти векторы образуют ортонормированный базис в трехмерном пространстве.

3.44. Среди векторов $\vec{m_1} = (1; -6; 3)$, $\vec{m_2} = (0; -4; 5)$, $\vec{m_3} = (5; 0; 0)$, $\vec{m_4} = (0; 2; 0)$, $\vec{m_5} = (-2; 0; 3)$, $\vec{m_6} = (2; -3; 6)$, $\vec{m_7} =(0; 0; -1)$, $\vec{m_8} = (3; -1; 0)$, $\vec{m_9} = (3; 0; -1)$, $\vec{m_{10}} = (0;-2;0)$ укажите векторы:

1) коллинеарные вектору $\vec{i}$;

2) коллинеарные вектору $\vec{j}$;

3) коллинеарные вектору $\vec{k}$;

4) компланарные векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$;

5) компланарные векторам $\vec{i}$ и $\vec{k}$;

6) компланарные векторам $\vec{j}$ и $\vec{k}$.

Для решения задачи воспользуемся определениями коллинеарности и компланарности векторов, а также координатами базисных векторов в трехмерном пространстве: $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$, $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

1) коллинеарные вектору $\vec{i}$

Вектор коллинеарен вектору $\vec{i}=(1; 0; 0)$, если его можно представить в виде $\lambda \cdot \vec{i} = (\lambda; 0; 0)$ для некоторого скаляра $\lambda \neq 0$. Это означает, что у вектора вторая и третья координаты должны быть равны нулю, а первая — отлична от нуля. Среди предложенных векторов этому условию удовлетворяет только вектор $\vec{m_3} = (5; 0; 0)$, так как $\vec{m_3} = 5\vec{i}$.

Ответ: $\vec{m_3}$

2) коллинеарные вектору $\vec{j}$

Вектор коллинеарен вектору $\vec{j}=(0; 1; 0)$, если его можно представить в виде $\lambda \cdot \vec{j} = (0; \lambda; 0)$ для некоторого скаляра $\lambda \neq 0$. Это означает, что у вектора первая и третья координаты должны быть равны нулю, а вторая — отлична от нуля. Этому условию удовлетворяют векторы:

$\vec{m_4} = (0; 2; 0)$, так как $\vec{m_4} = 2\vec{j}$.

$\vec{m_{10}} = (0; -2; 0)$, так как $\vec{m_{10}} = -2\vec{j}$.

Ответ: $\vec{m_4}, \vec{m_{10}}$

3) коллинеарные вектору $\vec{k}$

Вектор коллинеарен вектору $\vec{k}=(0; 0; 1)$, если его можно представить в виде $\lambda \cdot \vec{k} = (0; 0; \lambda)$ для некоторого скаляра $\lambda \neq 0$. Это означает, что у вектора первая и вторая координаты должны быть равны нулю, а третья — отлична от нуля. Этому условию удовлетворяет вектор $\vec{m_7} = (0; 0; -1)$, так как $\vec{m_7} = -1\vec{k}$.

Ответ: $\vec{m_7}$

4) компланарные векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$

Вектор компланарен векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$, если он лежит в одной плоскости с ними (в плоскости Oxy). Это означает, что вектор можно представить в виде их линейной комбинации $\vec{a} = \alpha\vec{i} + \beta\vec{j} = (\alpha; \beta; 0)$. Таким образом, третья координата (координата z) вектора должна быть равна нулю. Этому условию удовлетворяют векторы:

$\vec{m_3} = (5; 0; 0)$

$\vec{m_4} = (0; 2; 0)$

$\vec{m_8} = (3; -1; 0)$

$\vec{m_{10}} = (0; -2; 0)$

Ответ: $\vec{m_3}, \vec{m_4}, \vec{m_8}, \vec{m_{10}}$

5) компланарные векторам $\vec{i}$ и $\vec{k}$

Вектор компланарен векторам $\vec{i}$ и $\vec{k}$, если он лежит в одной плоскости с ними (в плоскости Oxz). Это означает, что вектор можно представить в виде их линейной комбинации $\vec{a} = \alpha\vec{i} + \gamma\vec{k} = (\alpha; 0; \gamma)$. Таким образом, вторая координата (координата y) вектора должна быть равна нулю. Этому условию удовлетворяют векторы:

$\vec{m_3} = (5; 0; 0)$

$\vec{m_5} = (-2; 0; 3)$

$\vec{m_7} = (0; 0; -1)$

$\vec{m_9} = (3; 0; -1)$

Ответ: $\vec{m_3}, \vec{m_5}, \vec{m_7}, \vec{m_9}$

6) компланарные векторам $\vec{j}$ и $\vec{k}$

Вектор компланарен векторам $\vec{j}$ и $\vec{k}$, если он лежит в одной плоскости с ними (в плоскости Oyz). Это означает, что вектор можно представить в виде их линейной комбинации $\vec{a} = \beta\vec{j} + \gamma\vec{k} = (0; \beta; \gamma)$. Таким образом, первая координата (координата x) вектора должна быть равна нулю. Этому условию удовлетворяют векторы:

$\vec{m_2} = (0; -4; 5)$

$\vec{m_4} = (0; 2; 0)$

$\vec{m_7} = (0; 0; -1)$

$\vec{m_{10}} = (0; -2; 0)$

Ответ: $\vec{m_2}, \vec{m_4}, \vec{m_7}, \vec{m_{10}}$