Страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.7.Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите:

1) $|\vec{AB} + \vec{AA_1}|$;

2) $|\vec{AD} + \vec{BC}|$;

3) $|\vec{AD} - \vec{AB}|$;

4) $|\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}|$, если ребро куба равно 4 см.

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $a = 4$ см. Для наглядности изобразим куб и будем использовать его свойства при решении.

1) $|\vec{AB} + \vec{AA_1}|$

Для нахождения суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$ воспользуемся правилом параллелограмма. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$ исходят из одной вершины A и являются смежными ребрами грани $ABB_1A_1$. Их сумма является вектором диагонали этой грани, исходящим из той же вершины A: $\vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{AB_1}$.

Следовательно, модуль этой суммы равен длине диагонали $\vec{AB_1}$ квадрата $ABB_1A_1$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора и равна $a\sqrt{2}$.

$|\vec{AB} + \vec{AA_1}| = |\vec{AB_1}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BB_1}|^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Подставим значение ребра куба $a = 4$ см:

$|\vec{AB} + \vec{AA_1}| = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

2) $|\vec{AD} + \vec{BC}|$

Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ соответствуют противоположным сторонам грани $ABCD$. В кубе (как и в любом параллелограмме) такие векторы равны, то есть они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковые длины. Таким образом, $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Тогда сумма векторов равна: $\vec{AD} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{AD} = 2\vec{AD}$.

Модуль этого вектора равен удвоенному модулю вектора $\vec{AD}$: $|2\vec{AD}| = 2 \cdot |\vec{AD}|$.

Длина вектора $\vec{AD}$ — это длина ребра куба, то есть $a$.

$|2\vec{AD}| = 2a$.

Подставим значение $a = 4$ см:

$2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

3) $|\vec{AD} - \vec{AB}|$

Разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$, исходящих из одной точки A, представляет собой вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора (точка B) с концом уменьшаемого вектора (точка D). То есть, $\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{BD}$.

Также можно воспользоваться правилом сложения: $\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{AD} + (-\vec{AB}) = \vec{AD} + \vec{BA}$. По правилу треугольника, $\vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BD}$.

Искомый модуль равен длине вектора $\vec{BD}$, который является диагональю грани $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

$|\vec{AD} - \vec{AB}| = |\vec{BD}| = \sqrt{|\vec{BA}|^2 + |\vec{AD}|^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

При $a = 4$ см, получаем:

$4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

4) $|\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}|$

Для нахождения суммы трех векторов $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ воспользуемся правилом параллелепипеда. Эти три вектора исходят из одной вершины A и являются ребрами куба.

Их сумма равна вектору главной (пространственной) диагонали куба, исходящей из той же вершины A: $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$.

Искомый модуль равен длине главной диагонали куба. Длину диагонали куба со стороной $a$ можно найти по пространственной теореме Пифагора:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2 + |\vec{AA_1}|^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Подставим значение $a = 4$ см:

$|\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}| = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

3.8. Дана треугольная пирамида ABCD. Найдите:

1) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$;

2) $\vec{AD} + \vec{CB} - \vec{CD}$.

Для решения данной задачи используются правила сложения и вычитания векторов.

1) Найдем сумму векторов $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$.

Для сложения векторов воспользуемся правилом многоугольника (которое является обобщением правила треугольника). Согласно этому правилу, если начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего, то сумма таких векторов равна вектору, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом последнего.

Рассмотрим сумму $\vec{AB} + \vec{BC}$. По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\vec{AC}$:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD}$

Снова применяем правило треугольника для суммы $\vec{AC} + \vec{CD}$. Эта сумма равна вектору $\vec{AD}$:

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Таким образом, итоговый вектор равен $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{AD}$

2) Найдем сумму векторов $\vec{AD} + \vec{CB} - \vec{CD}$.

Сначала преобразуем вычитание вектора в сложение с противоположным вектором. Вектор, противоположный вектору $\vec{CD}$, есть вектор $\vec{DC}$. Таким образом, $-\vec{CD} = \vec{DC}$.

Выражение принимает вид:

$\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC}$

Используя переместительное свойство сложения векторов, поменяем местами слагаемые для удобства вычисления:

$\vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}$

Теперь последовательно применим правило треугольника.

Сначала сложим первые два вектора $\vec{AD} + \vec{DC}$:

$\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$

Подставим результат в наше выражение:

$(\vec{AD} + \vec{DC}) + \vec{CB} = \vec{AC} + \vec{CB}$

И, наконец, сложим оставшиеся векторы $\vec{AC} + \vec{CB}$:

$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$

Таким образом, итоговый вектор равен $\vec{AB}$.

Ответ: $\vec{AB}$

3.9. В задаче 3.4 покажите, что:

1) $\overline{PQ}=\overline{TR}$

2) $\overline{PT}=\overline{QR}$

Поскольку условие задачи 3.9 ссылается на задачу 3.4, которой нет в предоставленном изображении, будем исходить из наиболее вероятного контекста. Обычно в таких задачах рассматривается теорема Вариньона, которая гласит, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм.

Итак, предположим, что в задаче 3.4 даны четыре произвольные точки A, B, C, D, а точки P, Q, R, T являются серединами отрезков AB, BC, CD и DA соответственно. Четырехугольник PQRT, образованный серединами сторон четырехугольника ABCD, называется параллелограммом Вариньона.

Пусть $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ — радиус-векторы точек A, B, C, D относительно некоторого начала координат O. Тогда радиус-векторы точек P, Q, R, T можно выразить следующим образом:

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

$\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

$\vec{t} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$

Используя эти выражения, докажем требуемые равенства.

1) покажите, что: $\vec{PQ} = \vec{TR}$

Выразим вектор $\vec{PQ}$ через радиус-векторы его начала (P) и конца (Q):

$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{(\vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b})}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$

Аналогично выразим вектор $\vec{TR}$ через радиус-векторы его начала (T) и конца (R):

$\vec{TR} = \vec{r} - \vec{t} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} = \frac{(\vec{c} + \vec{d}) - (\vec{d} + \vec{a})}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d} - \vec{d} - \vec{a}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $\vec{PQ} = \vec{TR}$, так как оба вектора равны $\frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a})$, что соответствует половине вектора диагонали $\vec{AC}$.

Ответ: Равенство $\vec{PQ} = \vec{TR}$ доказано.

2) покажите, что: $\vec{PT} = \vec{QR}$

Выразим вектор $\vec{PT}$ через радиус-векторы его начала (P) и конца (T):

$\vec{PT} = \vec{t} - \vec{p} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{(\vec{d} + \vec{a}) - (\vec{a} + \vec{b})}{2} = \frac{\vec{d} + \vec{a} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \frac{\vec{d} - \vec{b}}{2}$

Аналогично выразим вектор $\vec{QR}$ через радиус-векторы его начала (Q) и конца (R):

$\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{(\vec{c} + \vec{d}) - (\vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d} - \vec{b} - \vec{c}}{2} = \frac{\vec{d} - \vec{b}}{2}$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $\vec{PT} = \vec{QR}$, так как оба вектора равны $\frac{1}{2}(\vec{d} - \vec{b})$, что соответствует половине вектора диагонали $\vec{BD}$.

Ответ: Равенство $\vec{PT} = \vec{QR}$ доказано.

3.10. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.12). Существует ли параллельный перенос, отображающий параллелограмм $ABCD$ в параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$? Если существует, то укажите вектор параллельного переноса.

По определению, параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются на один и тот же вектор, называемый вектором переноса.

Чтобы параллельный перенос отображал параллелограмм $ABCD$ в параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, необходимо, чтобы существовал такой вектор $\vec{v}$, что при переносе на этот вектор каждая вершина первого параллелограмма переходит в соответствующую вершину второго. То есть должны выполняться следующие равенства:

• вершина $A$ переходит в $A_1$, что означает $\vec{v} = \vec{AA_1}$;
• вершина $B$ переходит в $B_1$, что означает $\vec{v} = \vec{BB_1}$;
• вершина $C$ переходит в $C_1$, что означает $\vec{v} = \vec{CC_1}$;
• вершина $D$ переходит в $D_1$, что означает $\vec{v} = \vec{DD_1}$.

Таким образом, такой параллельный перенос существует тогда и только тогда, когда все векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$ равны между собой.

Рассмотрим данный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

По определению параллелепипеда, его боковые грани являются параллелограммами.

• Из того, что грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом, следует, что $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$.
• Из того, что грань $BCC_1B_1$ является параллелограммом, следует, что $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.
• Из того, что грань $CDD_1C_1$ является параллелограммом, следует, что $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Следовательно, все четыре вектора равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Это означает, что условие существования параллельного переноса, отображающего параллелограмм $ABCD$ в параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, выполняется.

Вектором этого переноса является любой из этих равных векторов.

Ответ: Да, такой параллельный перенос существует. Вектор параллельного переноса равен $\vec{AA_1}$ (или $\vec{BB_1}$, или $\vec{CC_1}$, или $\vec{DD_1}$).

3.11. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны и лежат в параллельных плоскостях. Существует ли параллельный перенос, отображающий треугольник $ABC$ в треугольник $A_1B_1C_1$? Обоснуйте ответ.

Нет, такой параллельный перенос существует не всегда. Обоснуем этот вывод.

Параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называется преобразование пространства, при котором любая точка $M$ переходит в такую точку $M_1$, что $\vec{MM_1} = \vec{a}$.

Для того чтобы параллельный перенос отображал треугольник $ABC$ в треугольник $A_1B_1C_1$, необходимо, чтобы вершины одного треугольника переходили в соответствующие вершины другого. Это означает, что должен существовать такой вектор $\vec{a}$, для которого одновременно выполняются следующие равенства:

$\vec{AA_1} = \vec{a}$

$\vec{BB_1} = \vec{a}$

$\vec{CC_1} = \vec{a}$

Из этих равенств следует, что необходимым и достаточным условием существования такого параллельного переноса является равенство векторов, соединяющих соответствующие вершины: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Однако, условие, что треугольники равны и лежат в параллельных плоскостях, не гарантирует выполнения этого равенства векторов. Треугольники могут быть по-разному ориентированы друг относительно друга в своих плоскостях.

Например, один треугольник может быть повернут относительно другого. Рассмотрим такой случай. Пусть треугольник $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. В параллельной ей плоскости $\beta$ лежит равный ему треугольник $A_1B_1C_1$, но он повернут относительно положения, которое бы он занимал при "чистом" параллельном переносе.

Эта ситуация проиллюстрирована на рисунке ниже. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны и лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. Однако треугольник $A_1B_1C_1$ повернут.

Как видно из рисунка, векторы, соединяющие соответствующие вершины ($\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$), не равны друг другу (они имеют разные направления и длины). Следовательно, не существует единого вектора переноса $\vec{a}$, который бы одновременно переводил $A$ в $A_1$, $B$ в $B_1$ и $C$ в $C_1$.

Таким образом, хотя треугольники равны и лежат в параллельных плоскостях, их взаимное расположение может не допускать существования параллельного переноса, отображающего один треугольник на другой. Такое отображение возможно только в частном случае, когда $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Ответ: Нет, не существует. Параллельный перенос, отображающий треугольник $ABC$ в треугольник $A_1B_1C_1$, существует только в том случае, если векторы, соединяющие их соответствующие вершины, равны ($\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$). Условия задачи (равенство треугольников и параллельность плоскостей, в которых они лежат) не гарантируют выполнение этого условия.

3.12. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.12). Укажите вектор, начало и конец которого находятся в вершинах данного параллелепипеда и равный выражению:

1) $\vec{AB} + \vec{B_1C_1}$;

2) $\vec{AB} - \vec{B_1C_1}$;

3) $\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$;

4) $\vec{AA_1} - \vec{A_1C_1}$;

5) $\vec{AB} + \vec{DD_1}$;

6) $\vec{AB} - \vec{DB}$;

7) $\vec{AD} + \vec{D_1C_1} + \vec{BB_1}$;

8) $\vec{AB} + \vec{B_1C_1} - \vec{AC_1}$.

Для решения задачи будем использовать свойства векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основные свойства, которые нам понадобятся:
- Равенство векторов: векторы, соответствующие параллельным и равным по длине ребрам, равны. Например, $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$; $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$; $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.
- Правило треугольника: $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.
- Правило параллелограмма: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
- Правило вычитания векторов: $\vec{PQ} - \vec{PR} = \vec{RQ}$.

Изобразим параллелепипед для наглядности:

1) $\vec{AB} + \vec{B_1C_1}$

В параллелепипеде вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$, так как ребра $B_1C_1$ и $BC$ параллельны и равны по длине.
Заменим $\vec{B_1C_1}$ на $\vec{BC}$ в исходном выражении:
$\vec{AB} + \vec{B_1C_1} = \vec{AB} + \vec{BC}$
По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, сумма $\vec{AB} + \vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$.
Таким образом, $\vec{AB} + \vec{B_1C_1} = \vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AC}$

2) $\vec{AB} - \vec{B_1C_1}$

Вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{AD}$.
Заменим $\vec{B_1C_1}$ на $\vec{AD}$ в выражении:
$\vec{AB} - \vec{B_1C_1} = \vec{AB} - \vec{AD}$
По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало (точка A), разность $\vec{AB} - \vec{AD}$ равна вектору $\vec{DB}$.
Таким образом, $\vec{AB} - \vec{B_1C_1} = \vec{DB}$.
Ответ: $\vec{DB}$

3) $\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$

Данное выражение является прямой иллюстрацией правила треугольника для сложения векторов, так как конец первого вектора ($\vec{AA_1}$) совпадает с началом второго ($\vec{A_1C_1}$).
$\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{AC_1}$
Ответ: $\vec{AC_1}$

4) $\vec{AA_1} - \vec{A_1C_1}$

Вектор $\vec{A_1C_1}$ равен вектору $\vec{AC}$, так как диагонали $A_1C_1$ и $AC$ параллельны и равны (грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ - равные параллелограммы).
Заменим $\vec{A_1C_1}$ на $\vec{AC}$:
$\vec{AA_1} - \vec{A_1C_1} = \vec{AA_1} - \vec{AC}$
По правилу вычитания векторов с общим началом (точка A):
$\vec{AA_1} - \vec{AC} = \vec{CA_1}$
Ответ: $\vec{CA_1}$

5) $\vec{AB} + \vec{DD_1}$

Вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{BB_1}$, так как боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны.
Заменим $\vec{DD_1}$ на $\vec{BB_1}$:
$\vec{AB} + \vec{DD_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$
По правилу треугольника:
$\vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}$
Ответ: $\vec{AB_1}$

6) $\vec{AB} - \vec{DB}$

Вычитание вектора $\vec{DB}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{BD}$.
$\vec{AB} - \vec{DB} = \vec{AB} + (-\vec{DB}) = \vec{AB} + \vec{BD}$
По правилу треугольника:
$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$
Ответ: $\vec{AD}$

7) $\vec{AD} + \vec{D_1C_1} + \vec{BB_1}$

Упростим выражение, заменив векторы равными им для применения правила треугольника.
Вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{DD_1}$.
Вектор $\vec{D_1C_1}$ равен вектору $\vec{AB}$, но для удобства сложения лучше сделать так, чтобы векторы образовывали непрерывную цепь.
Выполним замену $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$ и перегруппируем слагаемые:
$\vec{AD} + \vec{D_1C_1} + \vec{BB_1} = \vec{AD} + \vec{D_1C_1} + \vec{DD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1}$
Теперь векторы образуют непрерывную цепь. Применим правило треугольника последовательно:
$(\vec{AD} + \vec{DD_1}) + \vec{D_1C_1} = \vec{AD_1} + \vec{D_1C_1} = \vec{AC_1}$
Ответ: $\vec{AC_1}$

8) $\vec{AB} + \vec{B_1C_1} - \vec{AC_1}$

Сначала упростим сумму $\vec{AB} + \vec{B_1C_1}$. Как мы выяснили в пункте 1, $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$, поэтому:
$\vec{AB} + \vec{B_1C_1} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
Теперь подставим этот результат в исходное выражение:
$(\vec{AB} + \vec{B_1C_1}) - \vec{AC_1} = \vec{AC} - \vec{AC_1}$
Используем правило вычитания векторов с общим началом (точка A):
$\vec{AC} - \vec{AC_1} = \vec{C_1C}$
Ответ: $\vec{C_1C}$

3.13. Пусть ABCDEF - правильный шестиугольник, O - его центр. Полагая $\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, выразите $\vec{OC}$, $\vec{OD}$, $\vec{OE}$, $\vec{OF}$, $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{ED}$, $\vec{EC}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Пусть $ABCDEF$ — правильный шестиугольник с центром в точке $O$. В правильном шестиугольнике все стороны равны, и он состоит из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$. Из этого следуют важные векторные соотношения:

1. Векторы, идущие из центра к вершинам, противоположным друг другу, являются противоположными. Например, $\vec{OD} = -\vec{OA}$, $\vec{OE} = -\vec{OB}$, $\vec{OF} = -\vec{OC}$.

2. Некоторые стороны шестиугольника параллельны и равны по длине радиусам, проведенным к другим вершинам. Например, $\vec{BC}$ сонаправлен с $\vec{AO}$, а $\vec{AB}$ сонаправлен с $\vec{OC}$.

Используем данные: $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

$\vec{OC}$
Вектор $\vec{OC}$ можно найти по правилу сложения векторов: $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC}$. В правильном шестиугольнике сторона $\vec{BC}$ параллельна, равна по длине и сонаправлена с вектором $\vec{AO}$. Вектор $\vec{AO}$ противоположен вектору $\vec{OA}$. Таким образом, $\vec{AO} = -\vec{OA} = -\vec{a}$. Следовательно, $\vec{BC} = \vec{AO} = -\vec{a}$. Подставим это в первое выражение: $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC} = \vec{b} + (-\vec{a}) = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{OC} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{OD}$
Точки $A$, $O$ и $D$ лежат на одной прямой (большая диагональ шестиугольника). Вектор $\vec{OD}$ равен по модулю вектору $\vec{OA}$, но направлен в противоположную сторону. Следовательно, $\vec{OD} = -\vec{OA} = -\vec{a}$.
Ответ: $\vec{OD} = -\vec{a}$

$\vec{OE}$
Аналогично, точки $B$, $O$ и $E$ лежат на одной прямой. Вектор $\vec{OE}$ противоположен вектору $\vec{OB}$. Следовательно, $\vec{OE} = -\vec{OB} = -\vec{b}$.
Ответ: $\vec{OE} = -\vec{b}$

$\vec{OF}$
Точки $C$, $O$ и $F$ лежат на одной прямой. Вектор $\vec{OF}$ противоположен вектору $\vec{OC}$. Используя найденное выражение для $\vec{OC}$: $\vec{OF} = -\vec{OC} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{OF} = \vec{a} - \vec{b}$

$\vec{AB}$
По правилу разности векторов: $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$. Подставляя данные значения, получаем: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$. (Заметим, что $\vec{AB} = \vec{OC}$, что является свойством правильного шестиугольника).
Ответ: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{BC}$
Как было показано при нахождении $\vec{OC}$, вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AO}$. $\vec{AO} = -\vec{OA} = -\vec{a}$. Следовательно, $\vec{BC} = -\vec{a}$.
Ответ: $\vec{BC} = -\vec{a}$

$\vec{ED}$
По правилу разности векторов: $\vec{ED} = \vec{OD} - \vec{OE}$. Мы уже нашли, что $\vec{OD} = -\vec{a}$ и $\vec{OE} = -\vec{b}$. $\vec{ED} = (-\vec{a}) - (-\vec{b}) = \vec{b} - \vec{a}$. (Заметим, что $\vec{ED}$ параллельна, равна по длине и сонаправлена с $\vec{AB}$).
Ответ: $\vec{ED} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{EC}$
По правилу разности векторов: $\vec{EC} = \vec{OC} - \vec{OE}$. Мы знаем, что $\vec{OC} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{OE} = -\vec{b}$. $\vec{EC} = (\vec{b} - \vec{a}) - (-\vec{b}) = \vec{b} - \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{EC} = 2\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AC}$
По правилу сложения векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Мы уже нашли, что $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{BC} = -\vec{a}$. $\vec{AC} = (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) = \vec{b} - 2\vec{a}$.
Ответ: $\vec{AC} = \vec{b} - 2\vec{a}$

$\vec{AD}$
Вектор $\vec{AD}$ — это большая диагональ шестиугольника. Его можно представить как сумму $\vec{AO} + \vec{OD}$. $\vec{AO} = -\vec{a}$ и $\vec{OD} = -\vec{a}$. $\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD} = (-\vec{a}) + (-\vec{a}) = -2\vec{a}$. Также можно было найти по правилу разности: $\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = -\vec{a} - \vec{a} = -2\vec{a}$.
Ответ: $\vec{AD} = -2\vec{a}$

3.14. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. При каких условиях векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны?

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это означает, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр). То есть, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{c} = k\vec{d}$. Также, по определению, нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Пусть даны векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$.Условие их коллинеарности означает, что либо один из них является нулевым вектором, либо существует такое число $k$, что выполняется равенство:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

Рассмотрим сначала случаи, когда один из векторов равен нулю.
Если $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$, то $\vec{a} = \vec{b}$. В этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. При этом рассматриваемые векторы превращаются в $2\vec{a}$ и $\vec{0}$, которые коллинеарны по определению.
Если $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$, то $\vec{b} = -\vec{a}$. В этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также коллинеарны. Рассматриваемые векторы становятся равными $\vec{0}$ и $2\vec{a}$, которые также коллинеарны.
В обоих этих подслучаях необходимым условием является коллинеарность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Теперь рассмотрим основной случай, когда оба вектора не нулевые и $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$. Преобразуем это равенство:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} + k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 + k)\vec{b} = \vec{0}$

Это равенство представляет собой линейную комбинацию векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равную нулевому вектору. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ линейно независимы (то есть не коллинеарны), то такое равенство возможно, только если коэффициенты при них равны нулю: $1-k=0$ и $1+k=0$, что приводит к противоречию ($k=1$ и $k=-1$ одновременно).
Следовательно, для выполнения этого равенства (при $k \neq \pm 1$) векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ должны быть линейно зависимы, что для двух векторов означает их коллинеарность.

Таким образом, мы приходим к выводу, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны только в том случае, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Проверим достаточность этого условия. Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то $\vec{b} = m\vec{a}$ для некоторого скаляра $m$.
Тогда $\vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + m\vec{a} = (1+m)\vec{a}$.
И $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - m\vec{a} = (1-m)\vec{a}$.
Оба полученных вектора являются скалярными произведениями вектора $\vec{a}$ и, следовательно, коллинеарны друг другу.

Ответ: Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

3.15. Изображая векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ с помощью диагоналей параллелограмма, найдите условия, при которых $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.

Для того чтобы изобразить векторы суммы $\vec{a} + \vec{b}$ и разности $\vec{a} - \vec{b}$ с помощью диагоналей параллелограмма, отложим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей точки и построим на них параллелограмм.

Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ по правилу параллелограмма будет совпадать с диагональю, исходящей из общего начала векторов. Вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ будет совпадать со второй диагональю, которая соединяет конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$.

Теперь найдем условия, при которых модули этих векторов равны: $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.

Геометрически, модули векторов $|\vec{a} + \vec{b}|$ и $|\vec{a} - \vec{b}|$ представляют собой длины диагоналей построенного параллелограмма. Условие равенства модулей означает, что диагонали параллелограмма равны по длине. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, образующие стороны параллелограмма, должны быть перпендикулярны друг другу.

Придем к тому же выводу алгебраически. Возведем обе части равенства $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ в квадрат (это эквивалентное преобразование, так как модули векторов неотрицательны):$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$

Используя свойство скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$), получим:$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, применяя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):$\vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

После сокращения одинаковых членов в обеих частях уравнения ($|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$) остается:$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Перенеся все в левую часть, получим:$4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Равенство скалярного произведения нулю означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ортогональны (перпендикулярны), либо один из них (или оба) является нулевым вектором. Нулевой вектор перпендикулярен любому другому вектору по определению.

Ответ: Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ выполняется тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны (ортогональны). В виде формулы это условие записывается как равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

3.16. Дана треугольная пирамида ABCD. Найдите сумму:

1) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$;

2) $\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB} + \vec{AB}$.

Для решения этой задачи используется правило сложения векторов, известное как правило треугольника или правило Шаля. Оно гласит, что для любых трех точек $P$, $Q$ и $R$ в пространстве справедливо равенство $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$. Иными словами, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго.

1) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$

Применим правило сложения векторов последовательно. Сначала сложим первые два вектора, $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Конец вектора $\vec{AB}$ (точка $B$) совпадает с началом вектора $\vec{BC}$ (точка $B$). Следовательно, их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка $A$) с концом второго (точка $C$).

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD}$

Снова применим правило сложения для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$. Конец вектора $\vec{AC}$ (точка $C$) совпадает с началом вектора $\vec{CD}$ (точка $C$). Их сумма — это вектор, идущий из точки $A$ в точку $D$.

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Таким образом, итоговая сумма равна $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{AD}$

2) $\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB} + \vec{AB}$

Будем складывать векторы последовательно, используя то же правило.

Сначала сложим первые два вектора $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

После этого выражение примет вид:

$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DB} + \vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB} + \vec{AB}$

Теперь сложим результат с третьим вектором $\vec{DB}$:

$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$

Подставим полученный вектор $\vec{AB}$ обратно в выражение:

$(\vec{AD} + \vec{DB}) + \vec{AB} = \vec{AB} + \vec{AB}$

Сумма двух одинаковых векторов равна удвоенному вектору:

$\vec{AB} + \vec{AB} = 2\vec{AB}$

Следовательно, искомая сумма равна $2\vec{AB}$.

Ответ: $2\vec{AB}$