Номер 3.7, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.7.Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите:

1) $|\vec{AB} + \vec{AA_1}|$;

2) $|\vec{AD} + \vec{BC}|$;

3) $|\vec{AD} - \vec{AB}|$;

4) $|\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}|$, если ребро куба равно 4 см.

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $a = 4$ см. Для наглядности изобразим куб и будем использовать его свойства при решении.

1) $|\vec{AB} + \vec{AA_1}|$

Для нахождения суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$ воспользуемся правилом параллелограмма. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$ исходят из одной вершины A и являются смежными ребрами грани $ABB_1A_1$. Их сумма является вектором диагонали этой грани, исходящим из той же вершины A: $\vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{AB_1}$.

Следовательно, модуль этой суммы равен длине диагонали $\vec{AB_1}$ квадрата $ABB_1A_1$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора и равна $a\sqrt{2}$.

$|\vec{AB} + \vec{AA_1}| = |\vec{AB_1}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BB_1}|^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Подставим значение ребра куба $a = 4$ см:

$|\vec{AB} + \vec{AA_1}| = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

2) $|\vec{AD} + \vec{BC}|$

Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ соответствуют противоположным сторонам грани $ABCD$. В кубе (как и в любом параллелограмме) такие векторы равны, то есть они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковые длины. Таким образом, $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Тогда сумма векторов равна: $\vec{AD} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{AD} = 2\vec{AD}$.

Модуль этого вектора равен удвоенному модулю вектора $\vec{AD}$: $|2\vec{AD}| = 2 \cdot |\vec{AD}|$.

Длина вектора $\vec{AD}$ — это длина ребра куба, то есть $a$.

$|2\vec{AD}| = 2a$.

Подставим значение $a = 4$ см:

$2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

3) $|\vec{AD} - \vec{AB}|$

Разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$, исходящих из одной точки A, представляет собой вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора (точка B) с концом уменьшаемого вектора (точка D). То есть, $\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{BD}$.

Также можно воспользоваться правилом сложения: $\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{AD} + (-\vec{AB}) = \vec{AD} + \vec{BA}$. По правилу треугольника, $\vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BD}$.

Искомый модуль равен длине вектора $\vec{BD}$, который является диагональю грани $ABCD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

$|\vec{AD} - \vec{AB}| = |\vec{BD}| = \sqrt{|\vec{BA}|^2 + |\vec{AD}|^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

При $a = 4$ см, получаем:

$4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

4) $|\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}|$

Для нахождения суммы трех векторов $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ воспользуемся правилом параллелепипеда. Эти три вектора исходят из одной вершины A и являются ребрами куба.

Их сумма равна вектору главной (пространственной) диагонали куба, исходящей из той же вершины A: $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$.

Искомый модуль равен длине главной диагонали куба. Длину диагонали куба со стороной $a$ можно найти по пространственной теореме Пифагора:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2 + |\vec{AA_1}|^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Подставим значение $a = 4$ см:

$|\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}| = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.