Номер 3.3, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.3. В предыдущей задаче найдите:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$;

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$;

3) $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AC}$;

4) $\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AC}$.

Для решения задачи предположим, что в предыдущей задаче речь шла о параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Векторные операции будем выполнять, основываясь на свойствах этой фигуры, изображенной ниже.

1) Для сложения векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ воспользуемся правилом треугольника (правилом Шаля). Так как начало вектора $\overrightarrow{BC}$ совпадает с концом вектора $\overrightarrow{AB}$, их сумма равна вектору, начало которого совпадает с началом вектора $\overrightarrow{AB}$ (точка $A$), а конец — с концом вектора $\overrightarrow{BC}$ (точка $C$). Таким образом, получаем: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Этот вектор является диагональю основания параллелепипеда.
Ответ: $\overrightarrow{AC}$

2) Вычитание векторов $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ можно представить как сложение с противоположным вектором: $\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AD})$. Вектор $-\overrightarrow{AD}$ равен вектору $\overrightarrow{DA}$. Тогда выражение принимает вид: $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$. По правилу треугольника, так как начало второго вектора совпадает с концом первого, их сумма равна вектору, идущему из начала первого в конец второго, то есть $\overrightarrow{DB}$. Также можно использовать правило вычитания векторов, исходящих из одной точки: разностью векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ является вектор, соединяющий их концы и направленный от конца вычитаемого ($D$) к концу уменьшаемого ($B$), то есть вектор $\overrightarrow{DB}$. Этот вектор является второй диагональю основания.
Ответ: $\overrightarrow{DB}$

3) Векторы $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AC}$ выходят из одной точки $A$. Для их сложения можно было бы использовать правило параллелограмма. Однако удобнее воспользоваться свойством параллелепипеда, согласно которому вектор $\overrightarrow{AC}$ равен вектору $\overrightarrow{A_1C_1}$ (поскольку верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$ является результатом параллельного переноса нижнего основания $ABCD$). Подставим это в сумму: $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1C_1}$. Теперь по правилу треугольника (правилу Шаля) получаем: $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC_1}$. Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ — это пространственная (главная) диагональ параллелепипеда.
Ответ: $\overrightarrow{AC_1}$

4) Для вычитания векторов $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AC}$, выходящих из одной точки, применяется правило: результатом является вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора (точка $C$) с концом уменьшаемого вектора (точка $A_1$). Таким образом, $\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA_1}$. Для проверки можно убедиться, что $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{AA_1}$, что соответствует правилу треугольника.
Ответ: $\overrightarrow{CA_1}$