Номер 3.10, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.10. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.12). Существует ли параллельный перенос, отображающий параллелограмм $ABCD$ в параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$? Если существует, то укажите вектор параллельного переноса.

По определению, параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются на один и тот же вектор, называемый вектором переноса.

Чтобы параллельный перенос отображал параллелограмм $ABCD$ в параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, необходимо, чтобы существовал такой вектор $\vec{v}$, что при переносе на этот вектор каждая вершина первого параллелограмма переходит в соответствующую вершину второго. То есть должны выполняться следующие равенства:

• вершина $A$ переходит в $A_1$, что означает $\vec{v} = \vec{AA_1}$;
• вершина $B$ переходит в $B_1$, что означает $\vec{v} = \vec{BB_1}$;
• вершина $C$ переходит в $C_1$, что означает $\vec{v} = \vec{CC_1}$;
• вершина $D$ переходит в $D_1$, что означает $\vec{v} = \vec{DD_1}$.

Таким образом, такой параллельный перенос существует тогда и только тогда, когда все векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$ равны между собой.

Рассмотрим данный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

По определению параллелепипеда, его боковые грани являются параллелограммами.

• Из того, что грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом, следует, что $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$.
• Из того, что грань $BCC_1B_1$ является параллелограммом, следует, что $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.
• Из того, что грань $CDD_1C_1$ является параллелограммом, следует, что $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Следовательно, все четыре вектора равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Это означает, что условие существования параллельного переноса, отображающего параллелограмм $ABCD$ в параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, выполняется.

Вектором этого переноса является любой из этих равных векторов.

Ответ: Да, такой параллельный перенос существует. Вектор параллельного переноса равен $\vec{AA_1}$ (или $\vec{BB_1}$, или $\vec{CC_1}$, или $\vec{DD_1}$).