Номер 3.9, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.9. В задаче 3.4 покажите, что:

1) $\overline{PQ}=\overline{TR}$

2) $\overline{PT}=\overline{QR}$

Поскольку условие задачи 3.9 ссылается на задачу 3.4, которой нет в предоставленном изображении, будем исходить из наиболее вероятного контекста. Обычно в таких задачах рассматривается теорема Вариньона, которая гласит, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм.

Итак, предположим, что в задаче 3.4 даны четыре произвольные точки A, B, C, D, а точки P, Q, R, T являются серединами отрезков AB, BC, CD и DA соответственно. Четырехугольник PQRT, образованный серединами сторон четырехугольника ABCD, называется параллелограммом Вариньона.

Пусть $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ — радиус-векторы точек A, B, C, D относительно некоторого начала координат O. Тогда радиус-векторы точек P, Q, R, T можно выразить следующим образом:

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

$\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

$\vec{t} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$

Используя эти выражения, докажем требуемые равенства.

1) покажите, что: $\vec{PQ} = \vec{TR}$

Выразим вектор $\vec{PQ}$ через радиус-векторы его начала (P) и конца (Q):

$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{(\vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b})}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$

Аналогично выразим вектор $\vec{TR}$ через радиус-векторы его начала (T) и конца (R):

$\vec{TR} = \vec{r} - \vec{t} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} = \frac{(\vec{c} + \vec{d}) - (\vec{d} + \vec{a})}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d} - \vec{d} - \vec{a}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $\vec{PQ} = \vec{TR}$, так как оба вектора равны $\frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a})$, что соответствует половине вектора диагонали $\vec{AC}$.

Ответ: Равенство $\vec{PQ} = \vec{TR}$ доказано.

2) покажите, что: $\vec{PT} = \vec{QR}$

Выразим вектор $\vec{PT}$ через радиус-векторы его начала (P) и конца (T):

$\vec{PT} = \vec{t} - \vec{p} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{(\vec{d} + \vec{a}) - (\vec{a} + \vec{b})}{2} = \frac{\vec{d} + \vec{a} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \frac{\vec{d} - \vec{b}}{2}$

Аналогично выразим вектор $\vec{QR}$ через радиус-векторы его начала (Q) и конца (R):

$\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{(\vec{c} + \vec{d}) - (\vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{d} - \vec{b} - \vec{c}}{2} = \frac{\vec{d} - \vec{b}}{2}$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $\vec{PT} = \vec{QR}$, так как оба вектора равны $\frac{1}{2}(\vec{d} - \vec{b})$, что соответствует половине вектора диагонали $\vec{BD}$.

Ответ: Равенство $\vec{PT} = \vec{QR}$ доказано.