Номер 3.5, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.5. Даны единичный вектор $\vec{e}$, $(\left| \vec{e} \right|=1)$ и вектор $\vec{a}$. Выразите вектор $\vec{a}$ через $\vec{e}$, если:

1) $\left| \vec{a} \right|=3, \vec{a} \uparrow \uparrow \vec{e}$;

2) $\left| \vec{a} \right|=\frac{1}{2}, \vec{a} \uparrow \downarrow \vec{e}$;

3) $\left| \vec{a} \right|=1,4, \vec{a} \uparrow \downarrow \vec{e}$;

4) $\left| \vec{a} \right|=0,6, \vec{a} \uparrow \uparrow \vec{e}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{a}$ через единичный вектор $\vec{e}$, необходимо определить скалярный множитель, связывающий эти два вектора. Этот множитель зависит от модуля вектора $\vec{a}$ и их взаимного направления.

Любой вектор можно представить как произведение его модуля (длины) на его единичный вектор (орт). Формула: $\vec{v} = |\vec{v}| \cdot \vec{v}_0$, где $\vec{v}_0$ — единичный вектор, сонаправленный с $\vec{v}$.

В задаче дано, что $|\vec{e}| = 1$.

• Если вектор $\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{e}$ (обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{e}$), то их орты совпадают: $\vec{a}_0 = \vec{e}$. Тогда вектор $\vec{a}$ выражается как $\vec{a} = |\vec{a}| \cdot \vec{e}$.
• Если вектор $\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{e}$ (обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{e}$), то их орты противоположны: $\vec{a}_0 = -\vec{e}$. Тогда вектор $\vec{a}$ выражается как $\vec{a} = |\vec{a}| \cdot (-\vec{e}) = -|\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Применим эти правила для решения каждого пункта.

1) Дано: $|\vec{a}|=3$, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{e}$.

Так как векторы сонаправлены, используем формулу $\vec{a} = |\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Подставляем значение модуля $|\vec{a}| = 3$ в формулу:

$\vec{a} = 3\vec{e}$.

Ответ: $\vec{a} = 3\vec{e}$.

2) Дано: $|\vec{a}|=\frac{1}{2}$, $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{e}$.

Так как векторы противоположно направлены, используем формулу $\vec{a} = -|\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Подставляем значение модуля $|\vec{a}| = \frac{1}{2}$ в формулу:

$\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{e}$.

Ответ: $\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{e}$.

3) Дано: $|\vec{a}|=1,4$, $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{e}$.

Так как векторы противоположно направлены, используем формулу $\vec{a} = -|\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Подставляем значение модуля $|\vec{a}| = 1,4$ в формулу:

$\vec{a} = -1,4\vec{e}$.

Ответ: $\vec{a} = -1,4\vec{e}$.

4) Дано: $|\vec{a}|=0,6$, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{e}$.

Так как векторы сонаправлены, используем формулу $\vec{a} = |\vec{a}| \cdot \vec{e}$.

Подставляем значение модуля $|\vec{a}| = 0,6$ в формулу:

$\vec{a} = 0,6\vec{e}$.

Ответ: $\vec{a} = 0,6\vec{e}$.