Практическая работа, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Самостоятельно рассмотрите и докажите частные случаи теоремы: 1) вектор $\overrightarrow{OD}$ лежит на одной из плоскостей $(AOB)$, $(AOC)$, $(BOC)$; 2) вектор $\vec{d}$ коллинеарен одному из векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Практическая работа

1. Постройте два вектора:

a) равные по длине, но неколлинеарные;

б) равные по длине и сонаправленные;

в) равные по длине и противоположно направленные;

В каком из случаев (а), б) или в)) построенные векторы являются: 1) коллинеарными; 2) равными? Обоснуйте ответ.

2. Постройте векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($\vec{a} \neq \vec{b}$). Отметьте точку $O$ и постройте:

a) параллелограмм $OABC$

a) параллелограмм $OABC$ так, чтобы $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$;

б) куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ так, чтобы $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$. В построенном кубе укажите: 1) компланарные векторы, параллельные плоскости $(ABA_1B_1)$; 2) три некомпланарных вектора; 3) сумму векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{B_1C_1}$; 4) сумму векторов $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DD_1}$ и $\overrightarrow{A_1B_1}$; 5) разность векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{A_1D_1}$. Обоснуйте ответ.

1. Постройте два вектора:

Для наглядности построим векторы на плоскости.

а) равные по длине, но неколлинеарные;

На рисунке (а) построены векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Они имеют одинаковую длину, но не являются коллинеарными, так как лежат на пересекающихся прямых.

б) равные по длине и сонаправленные;

На рисунке (б) построены векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Они сонаправлены (оба направлены вправо и параллельны друг другу) и имеют одинаковую длину. Такие векторы по определению равны: $\vec{p} = \vec{q}$.

в) равные по длине и противоположно направленные;

На рисунке (в) построены векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$. Они имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Такие векторы называются противоположными: $\vec{x} = -\vec{y}$.

В каком из случаев (а), б) или в)) построенные векторы являются: 1) коллинеарными; 2) равными? Обоснуйте ответ.

1) Коллинеарными являются векторы в случаях б) и в).
Обоснование: Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В случае (б) векторы сонаправлены, а в случае (в) — противоположно направлены. В обоих случаях они по построению параллельны, а значит, коллинеарны. В случае (а) векторы лежат на пересекающихся прямых и не являются коллинеарными.

2) Равными являются векторы в случае б).
Обоснование: Равными называются векторы, которые сонаправлены и имеют одинаковую длину. Этим условиям удовлетворяют только векторы в случае (б). В случае (а) векторы не сонаправлены. В случае (в) векторы противоположно направлены.

Ответ: 1) Коллинеарны в случаях б) и в). 2) Равны в случае б).

2. Постройте векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($\vec{a} \nparallel \vec{b}$). Отметьте точку O и постройте:

а) параллелограмм OABC так, чтобы $\vec{OA}=\vec{a}$ и $\vec{OB}=\vec{b}$;

1. Отмечаем произвольную точку O.
2. От точки O откладываем вектор $\vec{a}$, получаем точку A. Таким образом, $\vec{OA} = \vec{a}$.
3. От точки O откладываем вектор $\vec{b}$, получаем точку B. Таким образом, $\vec{OB} = \vec{b}$.
4. Для построения параллелограмма OABC нужно найти вершину C. Вектор $\vec{AC}$ должен быть равен вектору $\vec{OB}$, а вектор $\vec{BC}$ должен быть равен вектору $\vec{OA}$. Положение точки C определяется векторным равенством $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b}$.
5. Соединяем точки, чтобы получить параллелограмм OABC.

Ответ: Построение выполнено и показано на рисунке.

б) куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ так, чтобы $\vec{AB}=\vec{a}$. В построенном кубе укажите:

1) три компланарные векторы, параллельные плоскости $(ABA_1B_1)$;

Векторы, параллельные плоскости $(ABA_1B_1)$ (плоскость передней грани куба), — это любые векторы, которые параллельны этой плоскости. Три таких компланарных вектора: $\vec{AB}$, $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{DC}$.
Обоснование: Векторы $\vec{AB}$, $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{DC}$ равны, так как они соответствуют параллельным и одинаково направленным ребрам куба. Равные (и, в частности, коллинеарные) векторы всегда компланарны. Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости $(ABA_1B_1)$, а векторы $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{DC}$ параллельны ему, следовательно, они все параллельны плоскости $(ABA_1B_1)$.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{A_1B_1}$, $\vec{DC}$.

2) три некомпланарных вектора;

Три некомпланарных вектора: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.
Обоснование: Эти векторы соответствуют трем ребрам куба, выходящим из одной вершины A. Они взаимно перпендикулярны. Если бы они были компланарны, то все три лежали бы в одной плоскости, и куб был бы плоской фигурой, что противоречит его определению. Эти три вектора образуют базис в трехмерном пространстве.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.

3) сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC_1}$;

Найдем сумму $\vec{AB} + \vec{BC_1}$. Для этого используем правило многоугольника для сложения векторов. Разложим вектор $\vec{BC_1}$ на составляющие: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$.
Тогда сумма равна: $\vec{AB} + \vec{BC_1} = \vec{AB} + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CC_1}$.
По правилу сложения, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Подставляем обратно: $\vec{AC} + \vec{CC_1}$.
Снова по правилу сложения, $\vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1}$.
Таким образом, сумма равна вектору $\vec{AC_1}$, который является пространственной диагональю куба.

Ответ: $\vec{AB} + \vec{BC_1} = \vec{AC_1}$.

4) сумму векторов $\vec{AB}$, $\vec{DD_1}$ и $\vec{A_1B_1}$;

Найдем сумму $S = \vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{A_1B_1}$.
В кубе векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным ребрам, равны. Поэтому: $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$ и $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$.
Подставим эти равенства в исходное выражение: $S = \vec{AB} + \vec{AA_1} + \vec{AB}$.
Сгруппировав, получим: $S = 2\vec{AB} + \vec{AA_1}$.

Ответ: $2\vec{AB} + \vec{AA_1}$.

5) разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{A_1D_1}$.

Найдем разность $\vec{AB} - \vec{A_1D_1}$.
В кубе $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$, так как они лежат на параллельных ребрах верхнего и нижнего оснований и сонаправлены.
Заменим $\vec{A_1D_1}$ на $\vec{AD}$ в выражении: $\vec{AB} - \vec{AD}$.
Разность двух векторов, отложенных от одной точки (в данном случае A), есть вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора (D) с концом уменьшаемого вектора (B). Таким образом, $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$.
Альтернативно: $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{AB} + (-\vec{AD}) = \vec{AB} + \vec{DA} = \vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$.

Ответ: $\vec{AB} - \vec{A_1D_1} = \vec{DB}$.