Номер 2.113, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.113. Как можно разрезать куб, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник?

Чтобы в сечении куба получился правильный шестиугольник, необходимо разрезать куб плоскостью, которая проходит через центр куба и перпендикулярна одной из его главных диагоналей (отрезков, соединяющих противоположные вершины).

Рассмотрим куб с ребром длины $a$. Для доказательства введем систему координат. Поместим одну из вершин куба, назовем ее $A$, в начало координат $(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты:$A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $D=(0,a,0)$, $A_1=(0,0,a)$,$C=(a,a,0)$, $B_1=(a,0,a)$, $D_1=(0,a,a)$, $C_1=(a,a,a)$.

Выберем главную диагональ $AC_1$, соединяющую вершины $A(0,0,0)$ и $C_1(a,a,a)$. Плоскость, перпендикулярная этой диагонали, имеет уравнение вида $x+y+z=k$. Поскольку плоскость должна проходить через центр куба с координатами $(a/2, a/2, a/2)$, подставим их в уравнение, чтобы найти $k$:$a/2 + a/2 + a/2 = 3a/2$.Таким образом, уравнение секущей плоскости: $x+y+z = 3a/2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Плоскость пересечет те ребра, которые соединяют вершины из двух групп: те, для которых $x+y+z < 3a/2$ (это $A, B, D, A_1$), и те, для которых $x+y+z > 3a/2$ (это $C, B_1, D_1, C_1$). Таких ребер шесть:

• Ребро $BC$: $x=a, z=0$. Подставляя в уравнение плоскости, получаем $a+y+0 = 3a/2$, откуда $y=a/2$. Точка пересечения $P_1(a, a/2, 0)$.
• Ребро $DC$: $y=a, z=0$. $x+a+0 = 3a/2$, откуда $x=a/2$. Точка пересечения $P_2(a/2, a, 0)$.
• Ребро $BB_1$: $x=a, y=0$. $a+0+z = 3a/2$, откуда $z=a/2$. Точка пересечения $P_3(a, 0, a/2)$.
• Ребро $DD_1$: $x=0, y=a$. $0+a+z = 3a/2$, откуда $z=a/2$. Точка пересечения $P_4(0, a, a/2)$.
• Ребро $A_1B_1$: $z=a, y=0$. $x+0+a = 3a/2$, откуда $x=a/2$. Точка пересечения $P_5(a/2, 0, a)$.
• Ребро $A_1D_1$: $z=a, x=0$. $0+y+a = 3a/2$, откуда $y=a/2$. Точка пересечения $P_6(0, a/2, a)$.

Все точки пересечения являются серединами соответствующих ребер. Эти шесть точек $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ являются вершинами шестиугольника, полученного в сечении.

Чтобы доказать, что шестиугольник $P_2P_1P_3P_5P_6P_4$ правильный, нужно проверить равенство длин его сторон и равенство внутренних углов.

Найдем квадраты длин сторон:

• $|P_2P_1|^2 = (a-a/2)^2 + (a/2-a)^2 + (0-0)^2 = (a/2)^2 + (-a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.
• $|P_1P_3|^2 = (a-a)^2 + (0-a/2)^2 + (a/2-0)^2 = 0 + (-a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.
• $|P_3P_5|^2 = (a/2-a)^2 + (0-0)^2 + (a-a/2)^2 = (-a/2)^2 + 0 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2$.

В силу симметрии, длины остальных сторон ($|P_5P_6|^2$, $|P_6P_4|^2$, $|P_4P_2|^2$) также будут равны $a^2/2$. Таким образом, все стороны шестиугольника равны $a/\sqrt{2}$.

Теперь проверим один из углов, например, угол при вершине $P_1$. Найдем векторы $\vec{P_1P_2}$ и $\vec{P_1P_3}$:

$\vec{P_1P_2} = (a/2-a, a-a/2, 0-0) = (-a/2, a/2, 0)$.

$\vec{P_1P_3} = (a-a, 0-a/2, a/2-0) = (0, -a/2, a/2)$.

Найдем косинус угла $\theta$ между этими векторами по формуле скалярного произведения:

$\cos \theta = \frac{\vec{P_1P_2} \cdot \vec{P_1P_3}}{|\vec{P_1P_2}| |\vec{P_1P_3}|} = \frac{(-a/2) \cdot 0 + (a/2) \cdot (-a/2) + 0 \cdot (a/2)}{\sqrt{a^2/2} \cdot \sqrt{a^2/2}} = \frac{-a^2/4}{a^2/2} = -1/2$.

Угол, косинус которого равен $-1/2$, составляет $120^\circ$. В силу симметрии, все внутренние углы шестиугольника равны $120^\circ$.

Так как все стороны и все углы шестиугольника равны, он является правильным.

Ответ: Чтобы в сечении куба получился правильный шестиугольник, нужно провести разрез плоскостью, проходящей через центр куба и перпендикулярной его главной диагонали. Вершины полученного шестиугольника будут лежать на серединах шести ребер куба, которые не пересекаются с выбранной диагональю.