Номер 2.115, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.115. Сторона основания пирамиды из предыдущей задачи равна $a$, а высота $h$. Найдите площадь построенного сечения.

Поскольку задача ссылается на предыдущую (2.114), предполагается, что рассматривается правильная шестиугольная пирамида, а искомое сечение построено через ее вершину и меньшую диагональ основания.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Основанием является правильный шестиугольник ABCDEF со стороной $a$. Высота пирамиды SO равна $h$, где O — центр основания.

Сечение проходит через вершину S и меньшую диагональ основания, например, BD. Таким образом, искомое сечение — это треугольник SBD.

Для нахождения площади сечения (треугольника SBD) воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Так как пирамида правильная, все ее боковые ребра равны, значит $SB = SD$. Следовательно, треугольник SBD — равнобедренный. Его площадь равна $S_{SBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SK$, где SK — высота треугольника SBD, опущенная на основание BD.

1. Найдем длину основания BD (меньшей диагонали).В основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Меньшая диагональ соединяет вершины через одну. Рассмотрим треугольник BCD. Стороны $BC = CD = a$, а угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов:$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.Отсюда, длина меньшей диагонали $BD = a\sqrt{3}$.

2. Найдем длину бокового ребра SB.Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB (SO — высота пирамиды, следовательно, $SO \perp OB$). Катет $SO = h$. Другой катет, OB, является радиусом описанной около правильного шестиугольника окружности, и его длина равна стороне шестиугольника, т.е. $OB = a$. По теореме Пифагора:$SB^2 = SO^2 + OB^2 = h^2 + a^2$.$SB = \sqrt{h^2 + a^2}$.

3. Найдем высоту SK треугольника SBD.Так как треугольник SBD равнобедренный, его высота SK, проведенная к основанию BD, является также и медианой. Следовательно, точка K — середина отрезка BD.Рассмотрим прямоугольный треугольник SKB. Гипотенуза $SB = \sqrt{h^2 + a^2}$. Катет $BK = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.По теореме Пифагора:$SK^2 = SB^2 - BK^2 = (h^2 + a^2) - (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = h^2 + a^2 - \frac{3a^2}{4} = h^2 + \frac{a^2}{4}$.$SK = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$.

4. Вычислим площадь сечения.$S_{SBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{3}) \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$.Упростим полученное выражение:$S_{SBD} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{4h^2 + a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4h^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4h^2 + a^2}}{4}$.Это выражение можно также записать как $S_{SBD} = \frac{a\sqrt{3(4h^2 + a^2)}}{4}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3(4h^2 + a^2)}}{4}$.