Номер 2.111, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.111. Дан параллелограмм, который является проекцией ромба, с острым углом в $60^\circ$. Постройте проекцию высоты ромба, проведенной из вершины тупого угла.

Пусть данный параллелограмм $ABCD$ является проекцией ромба $A'B'C'D'$. Пусть острый угол ромба равен $60^\circ$. Без ограничения общности, пусть $\angle A' = \angle C' = 60^\circ$, тогда тупые углы ромба равны $\angle B' = \angle D' = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Задача состоит в том, чтобы построить проекцию высоты ромба, проведенной из вершины тупого угла. Рассмотрим высоту, проведенную из вершины $D'$ на сторону $A'B'$. Обозначим основание этой высоты как $H'$. Таким образом, $D'H' \perp A'B'$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A'H'D'$. В нем катет $A'H'$ можно выразить через гипотенузу $A'D'$ и угол $\angle A'$:$A'H' = A'D' \cdot \cos(\angle A') = A'D' \cdot \cos(60^\circ) = A'D' \cdot \frac{1}{2}$.

Поскольку $A'B'C'D'$ — ромб, все его стороны равны, в частности $A'D' = A'B'$.Следовательно, $A'H' = \frac{1}{2} A'B'$. Это означает, что основание высоты $H'$ является серединой стороны $A'B'$.

Проекция сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, середина отрезка проецируется в середину его проекции. Таким образом, проекция точки $H'$ (середины $A'B'$) будет точкой $H$, которая является серединой проекции отрезка $A'B'$, то есть стороны $AB$ данного параллелограмма.

Проекцией высоты $D'H'$ является отрезок $DH$.

Построение:

1. В данном параллелограмме $ABCD$ выберем вершину тупого угла. Пусть это будет вершина $D$.

2. Найдем середину $H$ противоположной стороны $AB$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки (построив серединный перпендикуляр) или просто измерив и разделив длину пополам.

3. Соединим отрезком вершину $D$ и точку $H$.

Полученный отрезок $DH$ и есть искомая проекция высоты ромба.

Примечание: Аналогично можно было бы построить проекцию высоты из вершины $D$ на сторону $BC$. Ее основанием оказалась бы середина стороны $BC$. Также можно было бы провести построение из другой тупой вершины $B$.

Ответ: Проекцией высоты ромба, проведенной из вершины тупого угла, является отрезок, соединяющий эту вершину с серединой одной из противоположных сторон параллелограмма. Построение показано на рисунке.