Номер 2.104, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.104. $\triangle A_1 B_1 C_1$ является проекцией $\triangle ABC$ и плоскости $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ параллельны. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1 B_1 C_1$.

Пусть плоскость, в которой лежит треугольник $\triangle ABC$, обозначается как $\alpha$, а плоскость, в которой лежит его проекция $\triangle A_1B_1C_1$, обозначается как $\beta$. Согласно условию задачи, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Тот факт, что $\triangle A_1B_1C_1$ является проекцией $\triangle ABC$, означает, что мы имеем дело с параллельным проецированием. При параллельном проецировании все проецирующие прямые параллельны некоторому направлению. Таким образом, прямые, соединяющие соответственные вершины, параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$.

Для доказательства равенства (конгруэнтности) треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ докажем равенство их соответствующих сторон (по признаку SSS).

1. Рассмотрим сторону $AB$ треугольника $\triangle ABC$ и ее проекцию $A_1B_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$. Так как проецирующие прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, то через них можно провести единственную плоскость. В этой плоскости лежат точки $A, B, B_1, A_1$, образуя четырехугольник $ABB_1A_1$.

2. Плоскость четырехугольника $ABB_1A_1$ пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллельных плоскостей, прямые их пересечения с третьей плоскостью параллельны. Прямая пересечения плоскости $ABB_1A_1$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $AB$. Прямая пересечения с плоскостью $\beta$ — это прямая $A_1B_1$. Следовательно, $AB \parallel A_1B_1$.

3. Теперь рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. Мы установили, что его противоположные стороны попарно параллельны: $AA_1 \parallel BB_1$ (по определению параллельной проекции) и $AB \parallel A_1B_1$ (по свойству пересечения параллельных плоскостей). Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $ABB_1A_1$ — это параллелограмм.

4. Одним из свойств параллелограмма является равенство длин его противоположных сторон. Следовательно, $AB = A_1B_1$.

5. Проводя аналогичные рассуждения для двух других сторон треугольника, мы можем доказать, что четырехугольники $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$ также являются параллелограммами. Из этого следует равенство их противоположных сторон: $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$.

6. В результате мы доказали, что стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны сторонам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$.

7. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.