Номер 2.107, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.107. Отметьте на ребрах $SB$, $SC$ и $BC$ тетраэдра $SABC$ точки $P$, $Q$, $R$ соответственно. Найдите точку пересечения:

1) прямой $PQ$ и плоскости $ABC$;

2) прямой $QR$ и плоскости $ABS$.

Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью используется метод следов. Суть метода заключается в построении вспомогательной плоскости, проходящей через данную прямую, и нахождении линии пересечения этой вспомогательной плоскости с данной плоскостью. Искомая точка пересечения будет лежать на этой линии.

1) прямой PQ и плоскости ABC

Чтобы найти точку пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $ABC$, рассмотрим вспомогательную плоскость, содержащую прямую $PQ$.

Точка $P$ лежит на ребре $SB$, а точка $Q$ — на ребре $SC$. Оба ребра $SB$ и $SC$ принадлежат грани $SBC$. Следовательно, вся прямая $PQ$ лежит в плоскости $(SBC)$.

Искомая точка пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $ABC$ должна принадлежать обеим этим плоскостям, то есть она должна лежать на линии их пересечения. Плоскости $(SBC)$ и $(ABC)$ пересекаются по прямой $BC$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точки пересечения двух прямых — $PQ$ и $BC$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(SBC)$. Если предположить, что прямые $PQ$ и $BC$ не параллельны (что является общим случаем), то они пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку $X_1$.

Точка $X_1$ принадлежит прямой $PQ$ по построению. Также точка $X_1$ принадлежит прямой $BC$, а значит, и плоскости $(ABC)$. Следовательно, $X_1$ — искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямых $PQ$ и $BC$, лежащих в плоскости $SBC$.

2) прямой QR и плоскости ABS

Чтобы найти точку пересечения прямой $QR$ с плоскостью $ABS$, применим аналогичный подход.

Точка $Q$ лежит на ребре $SC$, а точка $R$ — на ребре $BC$. Оба ребра $SC$ и $BC$ принадлежат грани $SBC$. Следовательно, вся прямая $QR$ лежит в плоскости $(SBC)$.

Искомая точка пересечения прямой $QR$ с плоскостью $ABS$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(SBC)$ и $(ABS)$. Эти плоскости имеют две общие точки — $S$ и $B$, следовательно, они пересекаются по прямой $SB$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точки пересечения двух прямых — $QR$ и $SB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(SBC)$. В общем случае они не параллельны, а значит, пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку $X_2$.

Точка $X_2$ принадлежит прямой $QR$ по построению. Также точка $X_2$ принадлежит прямой $SB$, а значит, и плоскости $(ABS)$. Следовательно, $X_2$ — искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямых $QR$ и $SB$, лежащих в плоскости $SBC$.